文档介绍：高等数学〔二〕
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函数、极限和连续
第一节 函 数
一、函数的概念
1. 函数的定义 〔了解〕
设在某个变化过程中有两个变量和，变量随变量的变化而变化。当变量在一个非空实数集合上取某一个设函数，如果，则称函数在点处左连续；
设函数，如果，则称函数在点处右连续。
3、函数在处连续的必要条件：
定理：在处连续在处极限存在
4、函数在处连续的充要条件：
定理：
5、函数在上连续
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定义 如果函数在上每一点都连续，则称在内连续。如果在内连续，且在左端点处右连续，即；在右端点处左连续，即，则称函数在上连续。
二、函数的间断点
假设在处不连续，则为的间断点。
间断点有三种情况：
1o在处无定义；
2o不存在；
3o在处有定义，且存在，但。
三、函数在处连续的性质
1、连续函数的四则运算
设，
1o
2o
3o
2、复合函数的连续性〔了解〕
则：
3、反函数的连续性〔了解〕
四、函数在上连续的性质
1、最大值与最小值定理：
在上连续在上一定存在最大值与最小值。
2、有界定理：
在上连续在上一定有界。
3、介值定理：
在上连续在内至少存在一点
，使得：，
其中：
推论〔零点定理〕：
在上连续，且与异号
在内至少存在一点c，使得：。
：
初等函数在其定域区间内都是连续的。
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第二章 一元函数微分学
第一节 导数与微分
一、导数的概念
1．导数的定义
定义 设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量〔点仍在该领域内〕时，相应地函数y取得增量。如果当时，函数的增量与自变量的增量之比的极限
存在，则称此极限值为函数在处的导数，并称函数在处可导，记作
，，
即。
由于，则，当时也即，于是上式又可写成
2．左导数与右导数
左导数：
右导数：
定理：在的左〔或右〕邻域上连续在其内可导，且极限存在；
则：〔或：〕
：
定理：在处可导在处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：存在，
二、求导法则
1、基本求导公式：
〔1〕〔为常数〕
〔2〕〔为任意常数，只要掌握为整数〕
〔3〕 ，
〔4〕 ，
〔5〕 〔6〕
〔7〕 〔8〕
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〔9〕 〔10〕
〔11〕 〔11〕
2、导数的四则运算：
1o
2o
3o
3、复合函数的导数：
，或
☆注意与的区别：
表示复合函数对自变量求导；
表示复合函数对中间变量求导。
4、隐函数的导数
5、高阶导数：
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
三、微分的概念
1、微分：在的某个邻域内有定义，
其中：与无关，是比较高阶的无穷小量，即：
则称在处可微，记作：
2、导数与微分的等价关系：
定理： 在处可微在处可导，且
3、微分形式不变性：
不管u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。
第二节 洛必达〔L’Hospital〕法则
洛必达法则 〔重点〕
1、“”型不定式
定理：和满足条件：
；
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在点a的某个邻域内可导，且；
则：
2、“”型不定式
定理：和满足条件：
；
在点a的某个邻域内可导，且；
则：
☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o假设不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是型或型时，不可求导。
3o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。
4o假设和还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
5o假设函数是型可采用代数变
形，化成或型；假设是型可
采用对数或指数变形，化成或型。