文档介绍：2006年硕士研究生入学考试数学一试题及解析
填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.
(1)
【分析】本题为未定式极限的求解,利用等价无穷小代换即可.
【详解】.
(2) 微分方程的通解是
【分析】本方程为可分离变量型,先分离变量,然后两边积分即可
【详解】原方程等价为
,
两边积分得,整理得
.()
(3)设是锥面的下侧,则
.
【分析】本题不是封闭曲面,首先想到加一曲面:,取上侧,使构成封闭曲面,然后利用高斯公式转化为三重积分,再用球面(或柱面)坐标进行计算即可.
【详解】设:,取上侧,则
.
而=,
.
所以.
(4)点到平面的距离.
【分析】本题直接利用点到平面距离公式

进行计算即可. 其中为点的坐标,为平面方程.
【详解】.
(5)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则
2 .
【分析】将矩阵方程改写为的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】由题设,有

于是有,而,所以.
(6)设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则.
【分析】利用的独立性及分布计算.
【详解】由题设知,具有相同的概率密度
.
则
.
【评注】本题属几何概型,也可如下计算,如下图:

则.
二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ A ]
【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.
【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,显然当时,
,故应选(A).
(8)设为连续函数,则等于
(A). (B).
(C) . (D) . [ C ]
【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形,然后化为直角坐标系下累次积分即可.
【详解】由题设可知积分区域如右图所示,显然是型域,则
原式.
故选(C).
(9)若级数收敛,则级数
(A) 收敛. (B)收敛.
(C) 收敛. (D) 收敛. [ D ]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.
【详解】由收敛知收敛,所以级数收敛,故应选(D).
或利用排除法:
取,则可排除选项(A),(B);
取,则可排除选项(C).故(D)项正确.
(10)设均为可微函数,且,已知是在约束条件
下的一个极值点,下列选项正确的是
(A) 若,则.
(B) 若,则.
(C) 若,则.
(D) 若,则. [ D ]
【分析】利用拉格朗日函数在(是对应的参数的值)取到极值的必要条件即可.
【详解】作拉格朗日函数,并记对应的参数的值为,则
, 即.
消去,得
,
整理得.(因为),
若,(D).
(11)设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是
若线性相关,则线性相关.
若线性相关,则线性无关.
(C) 若线性无关,则线性相关.
(D) 若线性无关,则线性无关.
[ C ]
【分析】本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定