文档介绍：非线性振动
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对于大量工程实际问题,后一个假设是满足的.
理论上,根据常微分方程的理论,这一假设就保证了方程解的唯一性.
即,在区域(2)内任取一点 ,从这点出发的解的
Lyapunov 第二方法
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基本概念（V函数）：定号,常号,变号函数
设函数是维空间原点邻域内的单值连续函数,而
定义1 如果存在 ,在区域 : ( )内
当时, ,则称是正定的
,则称是负定的.
定义2,如果在域内,有 ,则称是常正的
,则称是常负的.
定义3,如果原点的任意小的邻域内, 既可取正值,又可以取负值,则称
为变号函数
例如 ( )是正定的(在全空间内正定)
( )是常定的.
因为在轴上, , ,各点有 ,其它各点
是变量函数.
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正定函数的判定方法
要判定是不是正定函数,还没有一个普遍的方法（通用的方法）
对于二次型的函数,有普遍适用的方法
定理1 考虑二次型
式中是定常数, 是阶对称方阵
表示列阵的转置矩阵,即矢量
二次型为正定的充要条件是:顺序主子式的行列式都大于零.
即:
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例:设
问满足什么条件时, 是正定的?
解:令 ,则

求得 ,
根据定理1,只要 ,即时,函数是正定的.
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定义全导数: (2)
定理1 (李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动微分方程(1)可以找到一个正定函数，它通过(1)构成的全导数是常负的,则系统(1)的无扰运动是稳定的.
定理2 (李雅普诺夫,1892) 如果对于扰动运动的微分方程(1),可以找到一个正定函数 ,它通过(1)构成的全导数是负定的,则(1)的无扰动速度是渐进稳定的.
例:无阻尼单摆振动在其平衡位置的稳定性方程
对于扰动运动微分方程 , (1)
以下假设函数是单值连续的 , 对x具有连续偏导数 (i=1,2…n)
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令则方程变为以下形式
容易求出方程的初积分(首次积分，总能量函数)
两边积分得: ( 为任意常数)
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取注：选取V函数方法之一，总能量积分的表达式
易见是正定的(在区域内)
且通过(1)式对求全导数, ，有 (常负的)
故单摆运动在其平衡位置是稳定的.
另外，根据，定理2，不是渐近稳定的
定理3 (巴尓巴欣---克拉索夫斯基,1952)如果存在正定函数 ,它由(1)构成的全导数是常负的,并且在全导数为零的集合 ,除原点外,不包含(1)的整条轨线在内,则(1)的无扰动运动是渐近稳定的.
例如,证明对于有阻尼的下垂摆,平衡是渐近稳定的.
证明:扰动运动的微分方程是:
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获得总能量函数:
在区域