文档介绍：高等代数线性代数
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一、多项式函数与根
1. 多项式函数
设
数
将 的表示式里的 用 代替，得到P中的数
称为当 时 的值，记作
这样，对P中的每一个数 ，由多项一根．
推论1
若
则存在
使
即，
在复数域上必有一个一次因式．
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推论2
复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即
则 可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
若 则 在复数域
上可唯一分解成一次因式的乘积．
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推论1
推论2
若 则 在
其中 是不同的复数，
上具有标准分解式
复根（重根按重数计算）．
若 ，则 有n个
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二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 的复根，则
的共轭复数 也是 的复根．
若 为根，则
两边取共轭有
∴ 也是为 复根．
证：
设
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实系数多项式因式分解定理
，若 ， 则 可唯一
地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
证：对 的次数作数学归纳．
① 时，结论显然成立.
② 假设对次数<n的多项式结论成立．
设 ，由代数基本定理, 有一复根 ．
若 为实数, 则 ，其中
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若 不为实数，则 也是 的复根，于是
设 ，则
即在R上 是 一个二次不可约多项式．
从而
由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积．
由归纳原理，定理得证．
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在R上具有标准分解式
推论1
其中
且 ，即 为
R上的不可约多项式.
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推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二
例1 求 在 上与在 上的标准分解式.
1) 在复数范围内 有n个复根，
次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
解：
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∴
2) 在实数域范围内
这里
∵
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∴ 当n为奇数时
当n为偶数时
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一、本原多项式
二、整系数多项式的因式分解
§ 有理系数多项式
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问题的引入
1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：
对 则 可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积.
但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个
一般的方法.
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2. 我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约
多项式；
在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些
二次多项式；
但在 上有任意次数的不可约多项式．如
如何判断 上多项式的不可约性呢?
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3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．
这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
事实上，设
则可选取适当整数
使 为整系数多项式．
若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得
也即
其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于
的公因子．
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一、本原多项式
设
定义
若 没有
则称 为本原多项式．
异于 的公因子，即
是互素的，
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有关性质
1．
使
其中 为本