文档介绍：第三章
随机变量的数字特征
§ 方差与标准差
[引例]
设与都服从均匀分布,
概率密度分别为:
易知
虽然它们的数学期望相同,
但它们的分布却有着
显著的不同.
的可能值比较集中,
而
的可能值则
比较分散.
§ 方差与标准差
由此可见,
为了表示随机变量的分布特征,
研究随
机变量的取值与其均值的偏离程度是十分必要的.
下面引进描述随机变量分布的分散程度的数字特征
——方差.
[定义1]
随机变量
与其数学期望
的差,
叫做
的离差.
注:随机变量离差的数学期望恒等于零.
§ 方差与标准差
[定义2]
随机变量
的离差的平方的数学期望,
叫做
随机变量的方差.
记作:
即
[定义3]
称
为
的标准差或均方差.
记作:
即
§ 方差与标准差
在实际问题中,
一般用
来衡量偏离程度.
证:
由方差的定义及关于数学期望的定理得
[方差的计算公式]
§ 方差与标准差
[例1]
设随机变量
服从分布,
即
求方差
解:
§ 方差与标准差
求取球次数的方差与标准差.
[例2]
球,直至取到白球为止.
每次从袋中任取1个
(2)每次取出的黑球仍放回去.
个白球,
袋中有
个黑球,
(1)每次取出的黑球不再放回去;
假定:
解:
依题意
的概率分布为:
(1)设表示取球次数,
§ 方差与标准差
所以,
又
所以,
§ 方差与标准差
(2)
设表示此时的取球次数,
依题意可知的概率
函数为:
由§:
又
利用幂级数的展开式
可得
所以,
§ 方差与标准差
[例3]
求
的概率密度
已知连续随机变量
由§,
现计算
所以
解:
§ 方差与标准差