文档介绍：§ 导数的综合应用 1导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 在综合应用中特别注意用导数在证明不等式、求参数范围、处理恒成立等问题的工具性作用. 考 点考纲解读 导数的综合应用是高考考查的重点内容,主要考查函数的性质, 同时考查导数的相关知识,知识载体主要是三次函数、指数函数、:(1) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;(2) 考查以函数为载体的实际应用题,主要是先建立所求量的目标函数,再利用导数进行求解.(3) 函数、《考纲》预测 2013 年试题既有基础题,也有综合题,试题难度中等偏上或偏难. (或减函数)的问题,关键是利用导数将问题转化为函数的导数在此区间上恒为正(或负)的问题,也就是导函数最值大于(或小于),,一般根据要证明的不等式构造函数, :①将所给的不等式移项、整理、变形为求证不等式 f(x )>0(<0) 的形式;②利用导数研究函数在给定区间上的单调性,得到函数的最值;③将不等式问题转化为函数的最值恒大于 0或者小于 ,其具体步骤为:①将方程移项、整理,转化为方程 F(x )=0; ②利用导数研究函数 y=F(x)图象的变化情况; ③利用数形结合思想研究 F(x)与x轴交点的个数,从而得到方程根的个数. f(x)的导函数 f‘(x)的图象如图所示, 那么函数 f(x)的图象最有可能的是() 【解析】由 f '(x)的图象知 0和-2是f(x)的极值点,且x >0 时,f(x)单调递减,故选 A. 【答案】 A f(x )=x 3-x 2-2x +5, 若对于任意 x∈[-1,2] 都有 f(x )<m成立,则实数m的取值范围为() (A)(7,+ ∞). (B)(8,+ ∞). (C)[7,+ ∞). (D)(9,+ ∞). 【解析】 f(x )<m恒成立,即为 f(x) 最大值<m恒成立,f '(x )=3 x 2-x-2,在[-1,-] 和[1,2] 上,f(x)为增函数,在[-,1] 上,f(x)为减函数,所以 f(x)的最大值为 f (2)=7, 所以 m的取值范围为(7,+ ∞). 【答案】 A 122323 3.(2011 年湖南卷)设直线 x=t与函数 f(x )=x 2,g(x )=ln x的图象分别交于点M,N,则当| MN |达到最小时 t的值为() (A)1. (B) . (C) . (D) . 【解析】由题可知| MN |=x 2- ln x(x >0), 不妨令 h(x )=x 2- ln x,则h '(x )=2 x-, 令h '(x )=0 解得 x=,因x∈(0,)时,h '(x )<0, 当x∈(,+∞)时,h '(x )>0, 所以当 x=时,| MN |=. 【答案】 D12 52 221x 22 22 22 22 22 4.(2011 年辽宁卷)已知函数 f(x )=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是.【解析】 f(x )=0 有零点,等价于 a =2 x-e x有解,设g(x )=2 x-e x,则g '(x )=2 -e x. 当x≤ ln 2 时,g(x)单调递增,当x≥ ln 2 时,g(x)单调递减,∴g(x) max=g (ln 2)=2ln 2 -2,所以,a的取值范围是(-∞,2ln 2 - 2]. 【答案】(-∞,2ln 2 -2] 导数的综合应用主要包括以下几个方面: (1) 利用导数求参数的取值范围问题; (2) 利用导数研究不等式的证明问题; (3) 利用导数研究函数的零点问题; (4) ,,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数、非