文档介绍：第21讲 排列组合、二项式定理(理)
(1)分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,=m+n种不同的方法.
(2)分步乘有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共
(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.
【规律方法】
(1)求解有限制条件排列问题的主要方法
(2)解决有限制条件排列问题的策略
①根据特殊元素(位置)优先安排进行分步,即先安排特殊元素或特殊位置.②根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类.
(3)含有附加条件的组合问题的解法
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.②“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解.
(4)解排列、组合问题要遵循的两个原则
①按元素(或位置)的性质进行分类;②,解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).
变式训练二
,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小李可选的旅游路线数为( )
D
【解析】 先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端共有4个位置,再把3人带椅子插放在4个位置,
D
,每天安排2人,,乙不值11日,则不同的安排方法共有( )
种 种种 种
C
所以总共有24+12+6=42(种)安排方法.
题型三 二项式
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
【例3—2】 在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
【解析】 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
各项系数和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
【规律方法】
(1)与二项展开式有关问题的解题策略
①求展开式中的第n项,可依据二项式的通项直接求出第n项.
②求展开式中的特定项,可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可.
③已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.
(2)赋值法的应用
①形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可.
②对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
③若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和
变式训练三
A.-3 B.-2
D
【解析】 能够使其展开式中出现常数项,由多项式乘法的定义可知需满足:第一个因式
-120
3.(2019·汕头质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为 .