文档介绍：第十七章
复数
1．复数的概念
(1)理解复数的基本概念．
(2)理解复数相等的充要条件．
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．
2．复数的四则运算
(1)会进行复数代数形式的四则运算．
(2)了解复数代数加、减运算的几第十七章
复数
1．复数的概念
(1)理解复数的基本概念．
(2)理解复数相等的充要条件．
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．
2．复数的四则运算
(1)会进行复数代数形式的四则运算．
(2)了解复数代数加、减运算的几何意义.
研究复数问题的基本数学思想方法和原则：
1．具体化原则：将一般复数 z 用 x＋yi(x、y∈R)这个具体
的复数来表示．
2．实数化原则：将虚数问题转化为实数问题来处理．
3．几何化原则：将复数问题利用复数模的几何意义及复数
代数加减运算的几何意义，转化为几何问题来处理.
第 1 讲 复数的概念
1．复数相等的充要条件
复数 z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)与复数 z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)相
等的充要条件是____________________.
2．对于复数 z＝x＋yi(x、y∈R)
当___________时，是虚数；
x1＝x2 且 y1＝y2
y≠0
x＝0，y≠0
当_______________时，是纯虚数；
当_______时，是实数．
y＝0
3．共轭复数
复数 z＝x＋yi(x、y∈R)的共轭复数是 z ＝_______，它们的
模| z |=| z |=___________________.
x－yi
C
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1
D．3
的虚部是___.
2．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为
(
)
B
A．1
B．2
C．1 或 2
D．－1
3．复数
1
－2＋i
＋
1
1－2i
4．已知 m∈R，复数 z＝
m(m－2)
m－1
＋(m2＋2m－3)i，若 z 对
应的点位于复平面的第二象限，则 m 的取值范围是__________
_________________.
m＜－3 或 1＜m＜2
5.
1＋i
1－i
表示为 a＋bi(a、b∈Z)，则 a＋b＝____.
1
1
5
考点 1
复数的概念
例 1：已知复数 z＝
a2－7a＋6
a2－1
＋(a2－5a－6)i(a∈R)，
试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
∴不存在实数a 使 z 为纯虚数．
当虚部为0 时，复数为实数；当虚部不为0 时，
复数为虚数．
【互动探究】
1．在复平面内，复数
i
1＋i
＋(1＋ 3i)2对应的点位于(
)
B
A．第一象限
C．第三象限
考点 2 复数相等的应用
B．第二象限
D．第四象限
例2：已知 x、y 为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求 x、y.
解析：设x＝a＋bi(a、b∈R)，
则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
根据复数相等的充要条件，得
4 a2＝4
－3(a2＋b2)＝－6
，
解得
a＝1
b＝1
或
a＝1
b＝－1
或
a＝－1
b＝1
或
a＝－1
b＝－1
.
故所求复数为
x＝1＋i
y＝1－i
或
x＝1－i
y＝1＋i
或
x＝－1＋i
y＝－1－i
或
x＝－1－i
y＝－1＋i
.
【互动探究】
A
错源：混淆虚数与纯虚数的概念
例 3：已知a是实数，a(a＋i)－1＋i 是纯虚数(i 是虚数单位)，
则 a＝(
)
A．1
B．－1
C. 2
D．－ 2
误解分析：纯虚数的实部为0，但虚部不能为0.
正解：a(a＋i)－1＋i＝a2－1＋(a＋1)i 是纯虚数，a2－1＝0
但a＋1≠0，∴a＝1，选A.
【互动探究】
3．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为
(
A
)
A．－1
C．1
B．0
D．－1 或 1
例 4：下列类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，
C 为复数集)：
①“若 a、b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若 a、b
∈C，则 a－b＝0⇒a＝b”；
其中类比结论正确的个数是(
)
A. 0
B．1
C．2
D．3
解析：因为复数是不能比较大小的，故第3 个命题是错误