文档介绍：第 1 页
第 2 页
第 3 页
第 4 页
第 5 页
条件
圆的标准方程
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y或方程，求解参数范围．
类型三 求圆的一般方程
例题1
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．
【解析】由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
第 12 页
解得m<，
即实数m的取值范围为(－∞，)．
圆心坐标为(－m,1)，半径为.
【总结与反思】形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
例题2
已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
第 13 页
【解析】(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
【教学建议】本题可以视学生掌握情况进行拓展
若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
【解析】∵kAB＝＝，AB的中点坐标为(，)，
第 14 页
∵AB的垂直平分线方程为y－＝－3(x－)．
联立得
即圆心C的坐标为(，－)，
∴圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝.
【总结与反思】应用待定系数法求圆的方程时应注意：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
类型四 与圆有关的轨迹方程
例题1
已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
第 16 页
【解析】设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为C(3,3)．
因为CM⊥AM，所以kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
所以弦PQ的中点M的轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
【总结与反思】求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P
第 16 页
点的轨迹方程．
【教学建议】在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．
类型五 与圆有关的最值问题
例题1
已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值．
【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，
设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，
解得k＝±.
第 17 页
故的最大值为，最小值为－.
【教学建议】本题可以视学生掌握情况进行拓展
1．若本例条件不变，求y－x的最大值和最小值．
【解析】设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2．若本例条件不变，求x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．
由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
第 18 页
(x2＋y2)min＝(2