文档介绍：(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示。空间中任一向量
#
1
•知识要点
空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有一的三个有序实数X,y,Z，使
OP二xOAyOBzOC。
空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系0-
(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示。空间中任一向量
4
3
xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使0A=xiyizk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系0-xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
注：①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标
不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)
(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示。空间中任一向量
4
5
a=xiyjzk=(x,y,z)
(3)空间向量的直角坐标运算律：
―|>■—I-—¥■—*
①若a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，贝寸ab=佝b1,a2b2,a3b3)，
—fe-f—►
a-b二(ai-bi,a2-b2，a3-b3)，占，a=(.：・ai,:-a2，/-a3)(二R)，
«-■—*
ab=aibia?b2asb，a//b=ai二bi,a?二b2,a3=b3(R)
a_b=aibia2b2a3b3=0
②若A(xi,%冃)，B(X2,y2,Z2)，则AB二仕？—％,y?—y^z?—zj。
③中点坐标公式：若A(x1,y1,z1)
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
B(x2,y2,z,)，当p为ab中点时，p(XiJ2,yiJ2，丄产)
④MBC中，A(Xi,yiZi),B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,z3)，三角形重心P坐标为PCX^—3,yi+y2+y3,4+z2+z3)
333
(4)模长公式：若a二⑻，a2,03)，b=(b|,b2,b3)，
则|a|=aa二aja?2a?2，|b|=,bb二b^2b^b32
(5)夹角公式：cosab__aP..0lbl02匕2a3b
/丨a|‘Ib|Tb^+b^+b^
△abc中①AB*AC-0<=>a为锐角②AB・AC:::0<=>a为钝角，钝角△
(6)两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(屜，y2,z2)，
则|AB|=
AB?=.(X2_为)2
22
(y2-如)(Z2-乙)
空间向量的数量积：
空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则三AOB叫做向量a与
■■
N■■■
b的夹角，记作:::a,b•；且规定0-”：a,b-二，显然有：:：a,b=::b,a•；若：:：a,b