文档介绍：〈〈泛函分析》复****与总结
（2014年6月26日星期四
10:20---11:50）
第一部分空间及其性质
，函数空间，向量空间等，也包括空间的性质，例如。
四具体的空间已经学过的具体空间有：
?n空间(n=1,2,3,L);
£n空间(n=1,2,3,L);
lp空间(1苴p);
Lp([a,b])空间(1《p《*);C[a,b]空间；k--
C[a,b]空间。
；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、C[a,b]点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等)。
!要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中Weierstrass定理和C［a,b］空间中的Arzela-Ascoli定理）；
!要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；
（Lp（［a,b］）的完备性证明不作要求）
会用Holder不等式、Minkowski不等式、Cauchy不等式、Schwartz不等式和Bessel不等式等；
具体空间的共轴空间，仅限于要求掌握：
!lp空间（1壬p壬必）的共轴空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；Lp（［a,b］）空间（14p去*）的共轴空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；第二部分映射算子泛函
，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理，例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。

在泛函分析中，映射T:X，Y
当X,Y是空间时称为算子；当X是空间，Y是数域（Y=K=?或£）时称为泛函；
当X是线性空间时，主要考虑线性算子：
T（axby）=aTxbTy,a,bK,x,yX;
泛函分析中的非线性映射：
1.*压缩映射：P（Tx,Ty）<otP（x,y）,其中a在［0,1）Banach不动点定理.
2.*紧集上的连续泛函(对照数学分析中有限闭区间上的连续函数的性质).

L(X,Y)是由X映射到Y的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间(尤其是当Y是Banach空间时L(X,Y)也是Banach空间)；
有界线性算子列{Tk}fpUL(X,Y)的收敛：
算子列的按算子范数收敛：Tk一业^、T0;
算子列的强收敛：对于每一个xwX,Tk(x)—切JTo(x)；
(参见Banach-Steinhaus定理，P59)
重要定理
开映射定理、逆算子定理；
!共鸣定理、！一致有界定理、！Banach-Steinhaus定理；
闭图像定理、
!范数等价性定理(P63引理1);
，定理的证明通常不作要求。
共轴算子T*
共轴算子的定义([T*f](x):=f(Tx))以及简单性质；
重要实例：*以K(s,t)为核的积分算子的共轴算子、！左位移(右位移)算子的共轴算子。
具体的线性算子
!以K(s,t)为核的积分算子；
!由变上限积分所定义的算子；
微分算子；
!由^到尸的左位移(右位移)算子.