文档介绍：用彼得斯公式估计总体标准差
的误差分析
朱安远
(冶金工业部自动化研究院·北京,100071)
【摘要】本文作者独立地推导出了用彼得斯公式估计总体标准差的标准
的计算公式。根据各种估计总体标准差方法的标准差系数
Cn 的大小,我们可以分析出各种估计方法的优劣及其适用范围。
【关键词】彼得斯公式总体标准差标准差系数误差分析
1 彼得斯公式及其由来
假设总体为独立地抽自总体X的一个
随机样本,定义随机变量其中
这里不妨假设n为大于2的正整数。
因故即随机变
量和随机变量之间的相关系数为据此其联合概
率密度就确定了。在这个基础上,我们就可求得随机变量
的概率密度为:
在上式中代入则
在推导彼得斯公式之前,作为预备知识,我们先介绍绝对正态分布。
绝对正态分布是一种常见的不对称分布。只计大小而不计方向的随
机误差一般都服从绝对正态分布。假设
且 X1,X2 相互独立,则即
其中那么随机变量
的分布就是一个绝对正态分布。不难求得随机变量
的数学期望和方差分别为:
上式中
∴在上述结论中,令亦即k = 0 ,则
∴随机变量的数学期望为:
于是用作为标准差σ的估
计是无偏估计。此公式就是用于计算总体标准差σ的彼得斯(Peters) 公
式。彼得斯(C. A. F. Peters ,1806~1880)是德国天文学家,1839~1849
年在俄国工作,主要成就是确定章动常数和恒星视差的光行差等。
在科学实验中,评定实验的准确度(Accuracy)是一个极其重要的
问题。在评定准确度的时候,一般都要计算实验的标准差。计算标准差
的方法除彼得斯法外,还有贝塞尔法、极差法、较差法、最大误差法和
最大残差法等。标准差对理论和实际应用来说都是一个很重要的指标,
它描述了随机变量的可能值与均值的疏密程度。
2 彼得斯公式的误差分析
在实验过程中,可能同时存在系统误差(Systematic Error)、随机
误差(Random Error)和粗大误差(Parasitic Error)。当粗大误差被剔
除后,决定准确度的就是系统误差和随机误差。系统误差影响实验的正确
度(Correctness),随机误差影响实验的精密度(Precision)。系统误差和
随机误差的合成结果称为综合误差( Composite Error )。而实验的准确度
(Accuracy)就是用综合误差来衡量的,它表征了实验结果与真值的接近
程度。
因为彼得斯公式是无偏估计,故不存在系统误差。下面我们重点来讨
论彼得斯公式的随机误差。由于随机变量和
( i≠j,i & j=1, 2, …, n)之间不是相互独立的,其相关系数不易求得,
故随机变量的方差也不易求得。在这里我们采用下述独
特的思路来求随机变量Y的方差:首先求出随机变量和
它们之间也不是相互独立的)的联合概率密度,然后求出随机变量
和的联合概率密度,由此可求得联合数学期
望E(Wi Wj )。根据公式COV(Wi,Wj )=E(Wi Wj )-E(Wi )·E(Wj )即可求得
随机变量Wi 和Wj 之间的协方差。在此基础上求随机变量Y的方差就轻
而易举了。下面我们就来逐步地作这些工作:
对于随机变量Vi 和Vj(i≠j,i & j=1, 2, …, n),有
故其相关系数为:
故二维正态随机变量(Vi,
Vj)的联合概率密度为:
令则二
维随机变量(Wi,Wj )的联合分布函数和联合概率密度分别为:
其余地方为零)
其余地方为零)
在上式中代入则
令则
又令则
再令即则
上式中常数
又
用数学归纳法容易证明:
其中 k = 0, 1, 2, …)
∴随机变量和的协方差为:
∴随机变量的方差为:
前面已作过n > 2的假设,实际上经验算此公式也适合n = 2时的情况。
用彼得斯公式来估计随机变量
的标准差σ是无偏估计,不存在系统误差,其随机
误差的标准差为故定义其标准差系数为: