文档介绍：有限单元法有限差分法图 1-3 有限元法与有限差分法比较近代,这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果:一种称为框架分析法( framework method ) 被用来分析平面弹性体( 将平面弹性体描述为杆和梁的组合体)( 1941 , Hrenikoff ); 在采用三角形单元及最小势能原理研究扭转问题时, 分片连续函数被用来在子域中近似描述未知函数( 1943, Courant ) 。此后,本方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合( 水弹性) 问题, 以及航空、航天、建筑、水工、机械、核工程和生物医学等方面获得了广泛的应用。从而,促成了一个内容十分丰富的新兴分支───计算力学的出现, 长期以来在力学中存在的求解手段落后于基本理论的现象得到了根本的扭转。由于拥有了强有力的分析手段, 相比之下对物质世界本身( 例如本构关系) 的了解反而出现了一些新的薄弱环节。有限元方法的第二个关键时期出现于二十世纪六十年代中期,归功于 Argyris, 和 Kelsey(1960) 以及 Turner, Clough, Martin 和 Topp (1956) 。然而,“有限单元”是由 Clough 首次提出的(1960) 。在众多数学家的共同努力下,有限元方法的基本原理被揭示以后, 这种方法摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。这样就不仅极大地扩展了该方法的应用范围, 而且拓宽了人们的思路, 在构造方法时人们不再受工程直觉的束缚。 2、众所周知,一个连续体有无限多个自由度(属于无限维空间) ,有限元方法则是将它转化成一个有限自由度(属于有限维空间) ,建立有限元方程,求其近似解。可以将有限元法理解为在子域内应用的瑞利-里兹法( Rayleigh — Ritz Method ) 。在传统的瑞利-里兹法中, 必须假定近似的位移函数和其各阶导数在整个求解区域内有良好连续性。然而, 实际的工程结构往往比较复杂。例如, 变压器的箱体可以看成是由板和梁的组合结构; 管道系统中的阀门、接头和三通表现为集中质量。在数学的描述上,这些实际情况表现为间断点,在这些部位函数的导数(及应变)是不连续的。因此,瑞利-里兹法的工程应用受到了限制。另外,对于二维及三维的工程结构, 如果其几何边界不规则,要寻找满足边界条件的连续的近似位移函数是极其困难的。在有限元方法中, 由于利用了分片插值技术, 连续体( 区域) 的形状可以不受任何限制。而这一难题正是以前其他分析方法所难以克服的。图 1-3 给出了有限元法与传统的有限差分法在描述同一对象时的比较。建立有限元方程大体有三类方法: (1) 直接方法这种方法是直接从结构力学引伸过来的, 作为一种建立有限元方程的方法而言, 只在简单情况下才能凑效。这种方法的优点在于简单、易于理解, 一些基本概念和作法的物理意义清晰,对理解有限元方法的相关概念和具体作法十分有益。(2) 变分方法这种方法是讨论有限元方法时最常用的一种形式。有限元方法最早的严格理论论证就是以这种形式给出的。变分方法主要用于线性问题, 该方法要求被分析的问题存在一个“能量泛函”,由泛函取驻值建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小势能原理、最小余能原理或其他形式的广义变分原理。对于某些非线性问题( 弹塑性问题)的虚功方程也可归于这一类。本书主要利用这种形式。(3) 加权残值法对于线性自共轭形式方程, 加权残值法可能和变分法得到相同的结果, 这将使我们得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函”不存在的问题( 主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题) 加权残值法是一种很有效的方法。伽辽金 Galerkin )法(即, 选形函数为权函数的加权残值法)属于这一类。 3、计算机和应用程序要用有限元方法的理论来解决实际问题离不开计算机(硬件)和程序(软件) ,人们大体要完成以下四方面的工作: (1) 数据储存应用有限元方法求解实际问题时, 在计算过程中要存贮大量数据( 原始数据、中间数据和最终结果) 。对于一个中等规模以上的算题,数据量相当可观。例如,一个不到 500 个结点的板壳结构( 中等规模) 的算题, 要占用 18MB 的外存空间, 在处理规模稍大的算题时一定要有足够的外存空间。(2) 数据管理为了充分利用存贮空间,编制程序时要注意到存贮空间的利用率。(3) 数值计算计算成本主要取决于数值运算的时间,尽量选用先进的计算方法,提高求解效率。(4) 前处理及后处理为了减少人工准备原始数据的工作量,程序要有尽可能完善的“自动生成“功能。由程序产生一部分原始数据。尽管如此,对于中等规模以上的算题来说,准备原始数据仍然是一件繁重的工作。数据是否没有差错,往往决定着一次上机的成败。分析计算结果也是一件繁重的工作,一