泰勒级数.ppt

文档介绍：1 一个幂级数一个幂级数§ § 3 3 泰勒级数泰勒级数在其收敛圆内在其收敛圆内反过来反过来, , 在一个圆内在一个圆内可以展开成可以展开成 D D设函数设函数( ) f z 在区域在区域 D D内内0, z D ? 0z 0 | | , z R ?? ??作正向圆周作正向圆周 K: K:z z z是是K K内任何一点内任何一点根据柯西积分公式根据柯西积分公式( ) fz?( ) fz ??? d? K? 12i? 1z?? 0 0 1 ( ) z z z ??? ?? 01z??? 0011 zz z???? 0n ???? 101 ( ) nz??? 0 ( ) nzz? 0z??( ) f?( ) f? K? d? K? d?根据高阶积分公式根据高阶积分公式 0n ???? 2! in ?( ) 0 ( ) n f z 0 ( ) ( ) z nf ???0n ????!n ( ) 0 ( ) n f z 0 ( ) nzz? 0 ( ) nzz?正向圆周正向圆周 K K 可以增大可以增大, ,但整个圆周但整个圆周 K K 完全在完全在 D D内内, , 半径半径 R R z z 0 0到到D D的边界的的边界的最短距离最短距离 1? 0zz?的的和和函数函数解析解析, ,解析解析的函数的函数幂级数幂级数解析解析, ,的半径的半径 R R及其内部及其内部最好等于最好等于 2 定理定理 设函数设函数( ) f z 在区域在区域 D D内内 0, z D ? R R等于等于 z z 0 0到到D D的边界的边界的最短距离的最短距离, ,则在圆内则在圆内: : 0 z z ?( ) f z 能够展开成能够展开成( ) f z 0n ????!n ( ) 0 ( ) n f z 0 ( ) nzz? 0 ( ) f z ? 0 ( ) f z ?? 0 ( ) zz?? 0 ( ) f z ?? 20 ( ) zz?... ? ?( ) 0 ( ) n f z 0 ( ) nzz?...?( ) f z 该公式该公式在在z z 0 0的泰勒展开式的泰勒展开式将函数将函数其方法有两种其方法有两种: :直接法、直接法、但结果但结果( ) f z 的所有奇点中的所有奇点中若若离离z z 0 0最近最近则则R?解析解析, , | | R?泰勒级数泰勒级数: : 2!!n 称为称为展开成幂级数展开成幂级数, ,间接法间接法, ,只有一个只有一个. . 1 0 z z ?| | 的奇点为的奇点为 z z 1 1 3 几个重要函数的幂级数几个重要函数的幂级数 ze 1? 21 2! z? 1 ...! nzn ? ?...?| | z ?? 41 4! z? ze ?1? 21 2! z? 41 4! z?( 1) ...! nnzn ?? ?...? shz2 ? z z e e ??z? 51 5! z?... (2 1)! n ? ?? 2 1 nz ?...?| | z ??| | z ?? chz2 ? z z e e ??1? 41 4! z?... (2 )! n ? ? 2nz ...? sin z z? 51 5! z?...?| | z ?? cos z1? 41 4! z?...?| | z ??... (2 1)! n ? ?? 2 1 nz ?( 1) n?... (2 )! n ? ?( 1) n? 2nz z? 31 3! z?z? 31 3! z? 31 3! z? 71 7! z? 21 2! z? 61 6! z? 31 3! z? 71 7! z? 21 2! z? 61 6! z? 4 例例1 1将下列函数将下列函数 z z的幂级数的幂级数 nz nc 0n ???(1) (1) 2 cos z 并指出它们并指出它们(1) (1) 解解 cos z | | z ?? 2 cos z1? 81 4! z?... (2 )! n ? ?( 1) n? 4nz ...? R ??(2) (2) 2ze 2 sin z (2) (2) 解解| | z ?? ze 1? 21 2! z?...?