文档介绍：第第1 1章章矩阵的相似变换矩阵的相似变换§ § 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量§ § 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化§ § 矩阵的矩阵的 Jordan Jordan 标准形标准形§ § Hamilton- Hamilton- Cayley Cayley 定理定理§ § 矩阵的酉相似矩阵的酉相似一、一、 Jordan Jordan 标准形标准形 1、定义 1 Jordan 1 i i ii i i i r r J r ????? ?? ?? ??? ?? ?? ???形如的矩阵称为阶块, 定义定义 1 1 § § 矩阵的矩阵的 Jordan Jordan 标准形标准形 12 Jordan Jordan sJJJJ ? ?? ?? ??? ?? ?? ???由若干个块构成的分块对角阵称为矩阵. Remark Remark Jordan Jordan 对角矩阵是一个矩阵,它的每个块是一阶的; 2、矩阵的 Jordan 分解定理定理定理 1 1 1 , Jordan , Jordan Jordan n n n n A A J P P AP J J A ?????? CC 设则与一个矩阵相似,即存在可逆矩阵使得这个矩阵除块的排列次序外由唯一确定. 二、二、 Jordan Jordan 标准形的求法标准形的求法 1、初等变换法???????????????? 2. n n nnnn A I A A I A I A I A ???? ???? ???? C设,是的特征矩阵,其初等变换包括: 1交换的两行列; 的某一行列同乘以一个非零常数; 3的某一行列同乘以多项式加到另一行列定义定义 2 2 定理定理 2 2???????? 12 Smith n n nn A I A ddSd ??????? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ? C?设,则经过初等变换可化为如下标准形???????? 1 1, 2, , , , 1, 2, , 1. i i i d i n d d i n ?? ??? ??? ?其中是首一多项式即最高次项系数为1的多项式, 且 Reamrk Reamrk ???????????? 1 1 . i i i i d d f d d f ? ? ????? ??? ?定义定义 3 3 ?? 2 i d A ?定理中每个多项式称为的不变因子. 由初等变换求矩阵由初等变换求矩阵 A A 的的Jordan Jordan 标准形方法: 标准