文档介绍：第四章控制系统根轨迹分析法
本讲稿第一页，共四十三页
根轨迹的概念
（Evans）提出的，该法是在已知控制系统开环传函的极、零点分布的基础上，研究某一个或某些系统参数的变化对控制系统闭环传。
闭环特征方程：
另一种求分离点和会合点的方法
消去k得
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例： 求闭环根轨迹的分离点坐标。
法一：
法二：
-1
d
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规则六 根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为出射角；进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为入射角。 它们的计算公式为：
出射角 = 1800 + [各零点指向本极点的方向角] - [其他极点指向本极点的方向角]
入射角 = 1800 - [其他零点指向本零点的方向角]+ [各极点指向本零点的方向角]
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规则七 若根轨迹与虚轴相交，其交点处的值和对应的k可由劳斯判据求得，或将s=j代入特征方程，并令其实部和虚部分别相等求得。
根轨迹与虚轴相交，说明系统处于临界稳定状态，
可令劳斯阵列第一列中包含k的项为零，求出k。
如果根轨迹与正虚轴有一个交点，说明特征方程有一对纯虚根，可利用劳斯阵列中s2项的系数构成辅助方程，解此方程可求得交点处的值。若交点多于一个，可用大于2的偶次幂所在行的系数构成辅助方程，求得根轨迹与虚轴的交点
或
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根轨迹与虚轴的交点：由s = j 代入闭环特征方程可得，D(j ) = 0，由方程可得交点的值。
例
根轨迹的分离点：
舍去
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根轨迹的绘制
与虚轴交点：
代入实部，k’=48
实部
虚部
临界放大倍数
Routh 表：
S3 1 8
S2 6 k’
S1 0
S0 k’ 0
K’=48时，S1行全为0
辅助方程：6S2＋48＝0
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根轨迹绘制举例
-1 已知控制系统的开环传递函数为
要求绘制系统的根轨迹。
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系统的特征方程为5阶，故根轨迹有5支。
起始点：p1=0; p2=-5; p3=-6; p4=-1+j; p5=-1-j;
终止点：z1=0;(有限零点）有4个无穷远终止点
有四条根轨迹趋于无穷远处，故有四条渐近线：
夹角：
交点：
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实轴上的根轨迹位于0~-3及-5~-6之间
根轨迹离开复数极点-1+j的起始角为
根轨迹的分离点
或：
a=[1 66 142 123 45];roots(a)
ans =
-
- +
- -
- +
- - :
用MATLAB求根：d=-
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6. 根轨迹与虚轴交点可利用劳斯判据确定。
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解得：k=
由：
k=值由以下辅助方程确定：
代入k=：
rlocus([1 3],[1 13 54 82 60 0])
用：
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根轨迹绘制举例
-2 已知控制系统的开环传递函数为
要求绘制系统的以T为参变量的根轨迹。
解法：
A与K等价
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1. 系统的闭环特征方程：
2. 求等效开环传递函数：
3. 起始点：p12=-1j; 终止点：z1=0, z2= 0, z3= -2
4. 实轴上的根轨迹位于：- ~ -2
5. 从复数极点起始的相角为：
进入原点的终止相角为：
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根轨迹绘制举例
-3 已知控制系统的开环传递函数为
要求绘制正反馈系统的根轨迹。
背景：复杂系统中可能局部回路是正反馈子系统。
特征方程变为：
或
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幅角条件：
幅值条件：
开环传函：
本讲稿第三