文档介绍：南昌航空大学硕士研究生 2010/2011 学年第 2 学期考试卷学生姓名: 所在学院: 数信学院学号: 10007010 课程名称: 特殊矩阵成绩: 任课教师姓名: 任课教师所在学院: 数信学院 1. 用你所熟悉的计算机语言编写,求解任意矩阵 nnRA ??的1 范数 1A 和无穷范数?A , 1 1A ?,及其条件数)(A?. 解:首先来估计 1A .定义?????? n1i n1j j ij1xa Ax xf)( ,?? 1xRxD n??? 1: . 设D???, , Tn21),,,(??????, Tn21),,,(??????,0ba?, ,且1ba??, 那么, ????ba Tnn2211bababa),,,(??????????. 则 1ba??????? n1i iiba????????? n1i i n1i iba???????? n1i i n1i iba??1ba??, 因此 D 是凸集. 同理可证,)(xf 是D 1A 的问题就等价于求凸函数)(xf 在凸集D 上的最大值问题. 设)(xf 在x 的梯度)(xf?存在,则由凸函数的性质可知??)()(xfyf) )((xyxf??,nRy?. 现在假设 n0Rx?满足 1x 1 0?,使得 0xa n1j 0j ij???,n21j,,,??. 令 sgn i???????????? n1j 0j ijxa , 则在 0x 附近有????? n1i n1j j ijixaxf?)( . 因此,有???????????????? n 02 01 00x xfx xfx xfxf )(,, )(, )()(? TTTvAAv)(??, 其中 Tn21v),,,(?????.再令 0 Ax w?,vAz T?. 则有如下结论: (1) 若 0 Txzz??,则 1 01 Ax w?是 1 Ax xf?)( 在D 中的局部最大值; (2) 若 0 Txzz??,则 1 01 j Ax Ae ?,其中 j 满足??zz j . 基于这一定理可设计如下的算法: 1k? while 1k? Ax w?;)(w sign v?;vAz T?; if 0 Txzz??1 0wv?;0k?; else jex?;其中??zz j ;1k?; end end 因为 1AA T??,所以??AA T1 .对于 1 1A ?的估计,因为 xAw 1??, 可以得到 x Aw ?.然后,对 A 进行 LU 分解,可以得到 w .对于 vAz T??, 得到 vzA T?.同理,对 TA 进行 LU 分解,可以得到 z . 条件数?)(A? 1A 1 1A ?. 将上面的算法用 Matlab 语言来实现, Matlab 源程序如下: 源程序的运行结果: A 通过相似变换化为对称矩阵的形式. 解:设???????????????????n1n 1n 32 221 11A????????????? nn??R .取 n 阶对角矩阵),,,( n21ddd diag D??, 并且 0d i?,n21i,,,??.那么),,,( n21 1d1d1d1 diag D???.直接计算??1 DAD ???????????????? n 3 2 1d d d d???????????????????n1n 1n 32 221 11????????????????????????????????? n 2 1d 1 d 1 d 1??????????????????????????????????n1n1n n 1nn 1n 322 3 23 2211 2 12 11d d d d d d d dd d d d?????????????, 要使上面的矩阵为对称矩阵,需要满足条件??jj 1jd d? j1j jd d??. 若0 jj???,1n21j??,,,?时,得 jj j1jdd????.令1d 1?,利用公式 jj j1jdd????, 可以递推得到 jd),,(n2j??的值。这样我们就找到了非奇异矩阵 D . 若0 jj???,),,,(1n21j???时, ①0 j??,0 j??,1n21j??,,,?或0 j??,0 j??,1n21j??,,,?时, 可令 jj j1jdd?????.取1d 1?, jj j1jdd?????,可以递推得到 jd),,(n2j??的值. ②存在某个指标集?,),,,(1n21????, ⅰ).当??k 时, 0 k??,0 k??或0 k??,0 k??, 可以用公式 kk k1kdd?????来计算 kd . ⅱ).当??k 时, k?0 k??, 可以用公式 kk k1kdd????来