文档介绍：函数的周期性和对称性
一、知识梳理＆方法总结
周期性的定义
如果存在一个非零常数T
，使得对于函数定义域内的任意
x，都有fxT
f
x
，
则称fx为周期函数；若
fx的周期中，存在一个最小的正周期为
（2）定义在R上的函数f(x)关于直线x
1对称，若f(x)是偶函数，且f()
2，
则f()___________.
（3）函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以
2为周期的周期函数
.若f(x)在
[
1,0]上是减函数，那么
f(x)在[2,3]上是
(
)
A.
增函数B.
减函数
D.
先减后增函数
经典题型四——周期性和对称性的综合
【例七】若函数
f
x
在R
上是奇函数，且在区间
1,0
上是增函数，且
f
x
2
f
x
,
则:
1）fx关于直线___________对称；
2）fx的周期为___________；
（3）fx在(1,2)是___________函数(单调性)；
（4）若x
0,1时，fx
x1，则f
3
___________.
2
【例八】已知
函
数
（fx）的
定义域
为
R，且对一
切x
R，都有
fx
2
f
2x
,f
x7
f7x.
（1）若
（f
5）
9
，求
的值；
（f5）
2
（2）已知x［2，7］时，（fx）（x2），求当x［16，20］时，函数
（gx）2x（fx）的表达式，并求出（gx）的最大值和最小值.
【例九】已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x1)1f(x)．
1f(x)
（1）试证明函数2是f(x)的一个周期；
（2）当x[0,1)时，f(x)x,求fx在10，上的表达式
3）对（2）中的函数f(x)ax有100个根，求a的取值范围。
三、回顾反思
主要方法:
由函数周期性及奇偶性(对称性)，，将所求区间上问题转化为已知解析式的区间上；数形结合、以形助数是解决本节问题常用的
思想方法；
②由奇偶性与对称性，求出函数周期；
易错、易漏点:
①函数自身的对称性与两个函数之间的对称性不同；
②注意区分对称性与周期性所满足的函数关系的区别:
f(x)为周期函数满足
f(a
x)
f(b
x)；
f(x)为轴对称函数满足
f(a
x)
f(b
x)；
四、牛刀小试
1.
若存在常数p
0，使得函数f(x)满足f(px)
f(px
p)x
R，f(x)的一个正
2
周期为
2.
设函数f
x（x
R）是以3为周期的奇函数，且
f
11,f
2a，则（
）
2
B.
1
x
1，记
(
x
)
f
{
f
[
f
f
(
)]}，
则f2007(x)
f(x)
1
fn
x
x
n个f
五、双基训练
(x)是周期为
4的奇函数，且f(1)
2008，则f(3)
___________.
(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)
f(x)，且当0
x1时，f(x)
x，则
f()___________.
是
R
上的偶函数，且
是
R
上的奇函数，且对于
xR，都有
（fx）
（f2）0,g（x）