文档介绍：空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
立体几何空间向量学问点总结
学问网络：
学问点拨：
1、空间向量的概念和其运算与平面对量类似，向可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向．若向量对应的有向线段的起点是A，终点是B，则向量可以记为，其模长为或．
3、零向量
长度为零的向量称为零向量，记为．零向量的方向不确定，是随意的．由于零向量的这一特殊性，在解题中确定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”．
4、单位向量
模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中还要常常用到．
5、相等向量
长度相等且方向一样的空间向量叫做相等向量．若向量与向量相等，记为=.零向量与零向量相等，随意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
6、相反向量
长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．的相反向量记为－
二、共面对量
1、定义
平行于同一平面的向量叫做共面对量．
2、共面对量定理
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
若两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y,使得=。
3、空间平面的表达式
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y使或对空间任确定点O,有或（其中）这几个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件．
三、空间向量根本定理
1、定理
假设三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使=
2、留意以下问题
（1）空间随意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
（2）由于可视为与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念．
由空间向量的根本定理知，若三个向量、、不共面。那么全部空间向量所组成的集合就是,这个集合可看做是由向量、、生成的，所以我们把称为空间的一个基底。、、叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
3、向量的坐标表示
（1）单位正交基底
假设空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用表示．
（2）空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以、、的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．则建立了一个空间直角坐标系O－xyz,点O叫原点，向量、、都叫坐标向量．
空间向量与立体几何学问点
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空间向量与立体几何学问点
（3）空间向量的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量,且设、、为坐标向量，存在唯一有序数组（x，y，z）使，有序数组（x，y，z）叫做在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记为=。
对坐标系中任一点A，对应一个向量，则=。在单位正交基底、、中与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z）.
四、空间向量的运算
1、空间向量的加法
三角形法则（留意首尾相连）、平行四边形法则，
加法的运算律：交换律
结合律
2、空间向量的减法和几何作法
几何作法：在平面内任取一点O，作，则，即从的终点指向的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
3、空间向量的数乘运算
（1）定义
实数与的积是一个向量，记为，它的模与方向规定如下：
①
② 当时，与同向；当时，与异向；当时．
留意：
① 关于实数与空间向量的积的理解：我们可以把的模扩大（当>1时），也可以缩小（< 1 时），同时，我们可以不变更向量的方向（当时），也可以变更向量的方向（当时）。 .
② 留意实数与向量的积的特殊状况，当时，；当，若时，有。
空间向量与立体几何学问点
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③ 留意实数与向量可以求积，但是不能进展加减运算．比方，无法运算。
（2）实数与空间向量的积满意的运算律
设λ、μ是实数，则有
（结合律）
（第一支配律）
（第二支配律）
实数与向量的积也叫数乘向量．
4、共线向量
（1）共线向量定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也叫做平