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空间向量与立体几何知识点.docx

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文档介绍

文档介绍:空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
立体几何空间向量学问点总结
学问网络:
学问点拨:
1、空间向量的概念和其运算与平面对量类似,向可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的大小,用有向线段的方向表示向量的方向.若向量对应的有向线段的起点是A,终点是B,则向量可以记为,其模长为或.
3、零向量
长度为零的向量称为零向量,记为.零向量的方向不确定,是随意的.由于零向量的这一特殊性,在解题中确定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”.
4、单位向量
模长为1的向量叫做单位向量.单位向量是一种常用的、重要的空间向量,在以后的学习中还要常常用到.
5、相等向量
长度相等且方向一样的空间向量叫做相等向量.若向量与向量相等,记为=.零向量与零向量相等,随意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
6、相反向量
长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量.的相反向量记为-
二、共面对量
1、定义
平行于同一平面的向量叫做共面对量.
2、共面对量定理
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
若两个向量、不共线,则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y,使得=。
3、空间平面的表达式
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y使或对空间任确定点O,有或(其中)这几个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件.
三、空间向量根本定理
1、定理
假设三个向量、、不共面,那么对空间任一向量,存在唯一的有序实数组x、y、z,使=
2、留意以下问题
(1)空间随意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.
(2)由于可视为与随意一个非零向量共线,与随意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
由空间向量的根本定理知,若三个向量、、不共面。那么全部空间向量所组成的集合就是,这个集合可看做是由向量、、生成的,所以我们把称为空间的一个基底。、、叫做基向量,空间随意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
3、向量的坐标表示
(1)单位正交基底
假设空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
(2)空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点,分别以、、的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴.则建立了一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫原点,向量、、都叫坐标向量.
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
(3)空间向量的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量,且设、、为坐标向量,存在唯一有序数组(x,y,z)使,有序数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记为=。
对坐标系中任一点A,对应一个向量,则=。在单位正交基底、、中与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标,记为A(x,y,z).
四、空间向量的运算
1、空间向量的加法
三角形法则(留意首尾相连)、平行四边形法则,
加法的运算律:交换律
结合律
2、空间向量的减法和几何作法
几何作法:在平面内任取一点O,作,则,即从的终点指向的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.
3、空间向量的数乘运算
(1)定义
实数与的积是一个向量,记为,它的模与方向规定如下:

② 当时,与同向;当时,与异向;当时.
留意:
① 关于实数与空间向量的积的理解:我们可以把的模扩大(当>1时),也可以缩小(< 1 时),同时,我们可以不变更向量的方向(当时),也可以变更向量的方向(当时)。 .
② 留意实数与向量的积的特殊状况,当时,;当,若时,有。
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
空间向量与立体几何学问点
③ 留意实数与向量可以求积,但是不能进展加减运算.比方,无法运算。
(2)实数与空间向量的积满意的运算律
设λ、μ是实数,则有
(结合律)
(第一支配律)
(第二支配律)
实数与向量的积也叫数乘向量.
4、共线向量
(1)共线向量定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,则这些向量叫做共线向量,也叫做平

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