文档介绍：高等数学上册知识点
一、 函数与极限
（一） 函数
1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） ；
2、 反函数、复合函数、函数的运算；
3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲
dy
f
(
x 0
)
x
f
(
x 0
)
dx
2） 可微与可导的关系：可微
可导，且
三、 微分中值定理与导数的应用
（一） 中值定理
1、 Rolle 罗尔定理：若函数
f
(x
)
满足：
(
a
)
f
(
b
)
；
a
,
b
)
1）
f
(
x )
C [
a
,
b
]
； 2 ）
f
(
x
)
D
(
a
,
b )
； 3 ）
f
(
则
(
a ,
b
),
使
f
(
)
0
.
2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数
f
(x
)
满足：
1）
f
(
x )
C [
a
,
b
]
； 2 ）
f
(
x
)
D
(
a
,
b )
；
(
x
)
,0
x
则
(
a
,
b
),
使
f
( b
)
f
(
a
)
f
(
)(
b
a
)
.
3、 Cauchy柯西
中值定理：若函数
f
(
x
),
F
(
x
)
满足：
1）
f
(
x
),
F
(
x
)
C [
a ,
b
]
； 2 ）
f
(
x ),
F
(
x
)
D
(
a
,
b
)
；3）F
则
(
a
,
b
),
使
f
(
b
)
f
(
a
)
f
(
)
F
(
b
)
F
(
a
)
F
(
)
（二） 洛必达法则
（三） Taylor 公式
（四） 单调性及极值
1、
单调性判别法：
f
(
x
)
f
C [
a
,
b
]
，
f
(
x
)
D
(
a
,
b
)
，则若
f
(x
)
0
，则
f
(x
)
单调增加；则若
(x
)
0
，则
f
(x
)
单调减少 .
2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件： f (x ) 在 0x 可导，若 0x 为 f (x ) 的极值点，则 f ( 0x ) 0 .
b) 第一充分条件： f (x ) 在 0x 的邻域内可导， 且 f ( 0x ) 0，则①若当 x 0x
时， f (x ) 0，当 x 0x 时， f (x ) 0，则 0x 为极大值点； ②若当 x 0x
时， f (x ) 0，当 x 0x 时， f (x ) 0，则 0x 为极小值点；③若在 0x 的
两侧 f (x ) 不变号，则 0x 不是极值点 .
c) 第二充分条件： f (x ) 在 0x 处二阶可导，且 f ( 0x ) 0， f ( x 0 ) 0，则
①若 f ( 0x ) 0，则 0x 为极大值点；②若 f ( 0x ) 0，则 0x 为极小值点 .
3、 凹凸性及其判断，拐点
1）
f
(x
)
在区间 I 上连续，若
x 1
,
x 2
I
,
,
f
(
x 1
x
2
)
)
f
(
x 1
)
f
(
x
2
)
，则称
f
(x
)
在
2
2
区间 I 上的图形是凹的；若
x 1
,
x 2
I
f
(
x 1
x
2
f
(
x 1
)
f
(
x 2
)
，则称
f
(x
)
在
2
2
区间 I 上的图形是凸的 .
2）判定定理： f (x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上有一阶、二阶导数，则
a) 若 x ( a , b ), f ( x ) 0 , 则 f (x ) 在 [ a , b ] 上的图形是凹的；
b) 若 x ( a , b ), f ( x ) 0 , 则 f (x ) 在 [ a , b ] 上的图形是凸的 .
3）拐点：设 y f (x ) 在区间 I 上连续， 0x 是 f (x ) 的内点，如果曲线 y f (x ) 经
过点 ( x 0 ,