文档介绍：第三节空间向量在立体几何中的应用三、解答题 1.( 2010 辽宁文)( 19) (本小题满分 12 分) 如图, 棱柱 1 1 1 ABC ABC ?的侧面 1 1 BCC B 是菱形, 1 1 BC AB ?(Ⅰ)证明:平面 1 ABC ?平面 1 1 ABC ; (Ⅱ)设 D 是 1 1 AC 上的点,且 1 // AB 平面 1 BCD ,求 1 1 : AD DC :(Ⅰ)因为侧面 BCC 1B 1 是菱形,所以 11 BC CB?又已知 B BC BABACB??? 1111,且所又?CB 1 平面 A 1 BC 1 ,又?CB 1 平面 AB 1C, 所以平面?C AB 1 平面 A 1 BC 1. (Ⅱ)设 BC 1交B 1C 于点 E ,连结 DE, 则 DE 是平面 A 1 BC 1 与平面 B 1 CD 的交线, 因为 A 1 B// 平面 B 1 CD ,所以 A 1 B//DE. 又E是 BC 1 的中点,所以 D为A 1C 1 的中点. 即A 1D: DC 1 =1. 2.( 2010 辽宁理)( 19) (本小题满分 12 分) 已知三棱锥 P- ABC 中, PA⊥ ABC , AB⊥ AC, PA=AC= ? AB,N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明: CM⊥ SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 证明: 设 PA=1 ,以 A 为原点,射线 AB, AC, AP 分别为 x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P( 0,0,1 ),C ( 0,1,0 ),B( 2,0,0 ),M( 1,0, 12 ),N(12 ,0,0 ),S( 1,12 ,0). …… 4分(Ⅰ) 1 1 1 (1, 1, ), ( , , 0) 2 2 2 CM SN ? ? ???????? ????, 因为 1 1 0 0 2 2 CM SN ? ??????????????, 所以 CM⊥ SN …… 6分(Ⅱ)1 ( ,1, 0) 2 NC ? ?????, 设 a=(x,y,z )为平面 CMN 的一个法向量, 则1 0, x y z x x y ?? ???????? ????令,得a=(2,1,-2). …… 9分因为1122 cos , 2232 a SN ? ?? ??????所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°。…… 12分 4.( 2010 江西理) 20. (本小题满分 12 分) 如图△ BCD 与△ MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD?平面 BCD , AB?平面 BCD , 2 3 AB ?。(1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。解法一:(1 )取 CD 中点 O ,连 OB, OM ,则 OB⊥ CD, OM⊥ CD. 又平面 MCD ?平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD , 所以 MO∥ AB,A、B、O、M 共面. 延长 AM、 BO 相交于 E,则∠ AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角. OB= MO=3 , MO∥ AB, MO// 面 ABC ,M、O 到平面 ABC 的距离相等,作 OH? BC于H, 连 MH ,则 MH? BC ,求得: OH=OCsin60 0=32 ,MH= 15 2 , 利用体积相等得: 2 15 5 A MBC M ABC V V d ? ?? ??。(2) CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线. 由( 1 )知, O是 BE 的中点,则 BCED 是菱形. 作 BF⊥ EC于F,连 AF,则 AF⊥ EC,∠ AFB 就是二面角 A- EC-B 的平面角,设为?. 因为∠ BCE =120 ° ,所以∠ BCF =60 °. sin60 3 BF BC ? ? ??, tan 2 AB BF ?? ?, 2 5 sin 5 ??所以,所求二面角的正弦值是 2 5 5 . 解法二:取 CD 中点 O ,连 OB, OM ,则 OB⊥ CD, OM⊥ CD ,又平面 MCD ?平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD . 以O 为原点,直线 OC、 BO、 OM为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系如图. OB= OM=3 ,则各点坐标分别为 O(0,0,0),C(1,0,0),M (0,0,3 ),B(0,-3 ,0),A(0,-3 ,23 ),