文档介绍：巧用8大几何意义和性质优化解析几何解题
圆锥曲线定义与几何意义结合 2 2
例题1 如图，R(—c,O)，(c,O)分别为双曲线「：二-% = l(a/>0)的左、右焦点，过点£作直线/,
a b
使直线Z与圆(x-c)2+/ = ^, .•.国耳=。2—§
根据双曲线定义，”周一%—a = 2a
解得e = f =逅，选D
a 2
圆锥曲线几何意义与不等式练****br/>例题4 直线1过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线交于A, B两点，则4\AF\ + \BF\的最小值是
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
【解析】由抛物线标准方程可知p=2 因为直线1过抛物线寸=4x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知
,,.z , , . IX ( 1 1 ) (\BF\ 4 AF)
所以4 AF + BF =(4 AF + BF • ：~ + ~f =4 + 1+ ~
1 1 1 V 1 1 1 17 \AF\ \BF\ U""
(\BF\ 4| AfO
Ibf
4
AF
4 + 1+ _
>5 + 2 —
-X —
U" M J
1
BF\
因为|af|＞|bf|为线段长度，都大于0,由基本不等式可知
25 + 2x2=9 ,
选b
此时 |bf|=2|af|
巩固3 已知P为双曲线C：二―与=1 （。＞0,方＞0）左支上一点，Fx, §分别为C的左、右焦点, a b
M为虚轴的一个端点，若|MP|+"E|的最小值为国引，则C的离心率为（ ）
A. 2+j6_ b. 2 + ^6 C. 4 +必 D. 4 + ^6
2
【解析】|MP|+"E|=|MP|+|T¥；| + 2a..]MF；| + 2a = A^Z7 + 2a = 2c
化简得 2<?2 — 8。<? + 5。2 =0
即 2决一8e + 5 = 0
解得e = 土厄或° = 土恒，所以e = 土近
巩固4 己知点肱（-4,-2）,抛物线x2=4y,尸为抛物线的焦点，/为抛物线的准线，P为抛物线上一 点，过P作PQ^l,点Q为垂足，过P作FQ的垂线4 , £与/交于点R ,则|0?| +|标|的最小值为（
B. 2a/5
D. 5
【解析】根据抛物线定义得|所| =|尸。|, El FQ ,贝M为FQ的垂直平分线
:.\QR\+\MR\ = |F7?| + |AW?| >\FM\ = M+(1 + 2)2 = 5,选 D
向量几何意义与圆锥曲线
2 2
例题5 A/为双曲线［―当=1（。〉0,/,>0）右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且 a b
=0,直线ME交y轴于点的内切圆的半径为b ,则双曲线的离心率为（
A. 72 B. ^3 C. 2 D. 3
【解析】如图所示：因为而•砍=0,所以三角形KMN为直角三角形
故它的内切圆半径
」岫| + |"-阴| _岫| + |"-|昭| _|屿| + |"-|"-_®|-如|
r — 2 — 2 — 2 — 2
所以e = 4i，选A
巩固5 过双曲线4— 土 = l(a>b>0)右焦点F的直线交两渐近线于A、B两点，若序=0，0 a b
为坐标原点，且UOAB内切圆半径为VE。，则该双曲线的离心率为()
2
A. - B. ^3 D.
3
【解析】因为a>b>0,所以双曲线的渐近线如图所示
设内切圆圆心为M ,则Af在ZAOB平分线OF上
过点必 分别作MN1OA于N , MTLAB于T ,由FA1OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近
线的距离为8得FA = b,又OF = c,所以OA = a,
所以 ——吏呈a =圣# 所以？tan" = ^ = g,得° =『而=手选A
巩固6 如图，抛物线G：V=2px（〃>0）,圆G： x-勺+y2=i,圆G与y轴相切，过G的焦点F的
直线从上至下依此交G，于A,B,C,D,且\AB\=\BD\,。为坐标原点，则瓦在成方向上的投影
为（ ）
A. 2
B. 4
【解析】由圆q与y轴相切可知，普=1，解得p = 2,
直线AD : x = my + l,与抛物线方程联立得<
x = my + l 、y2=4x
即 y2 -4my-4 = 0
所以 C1:y2=4x, C2 :(x-l)2 +y2 =1
由题意知，F（l,o）,^A（xl,y1）,D（x2,y2）
由韦达定理知，必+力=4秫，yxy2 =-^
则Xj+%2 =m（yl + y2） + 2 = 4m2 +2, x^2 =（节）=1
因为\AB\=