文档介绍：第二章傅立叶变换
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§
随着计算机数字集成电路的发展，人
们对各种二值正交函数研究产生兴趣，这
样对通信、数字信号处理等领域提供多种
研究手段。
作为最基本的研究工具，傅立叶分
如图2-2，如果Fn 为实数，可以用Fn的正、
负数表示 的0， 。这样幅度谱和相位谱
可以合画在一张图上。如图2-3
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图2-2
图2-3
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讨论：
(1)由图2-3看出，图中每条谱线长度
(2)由式2-9看出，式中不仅包括正频率项，
还包括负频率项，因此这种频谱相对于纵
轴左右式对称的。
(3)由图2-1和图2-3可以看出这两种频谱的
表示方法实质上是一样的，只是形式有些
不同。图2-1中每条谱线代表相应分量的幅
度，而图2-2中，每个分量幅度一分为二，
在正、负频率相对应的位置上各为一半。
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正、负频率上相应的两条谱线合起来代表
一个分量的幅度。
(4)应当指出在指数复数频谱中，出现了负
频率。这是由于将sin(nω1t)和cos(nω1t)按
欧拉公式写成复指数形式引起的，即写成
和
两项，从而引入了
项，所以这完全是数学运算的结果，具有
数学意义，并没有物理意义。只有将负频
率和相应正频率项，通过数学运算合并起
来才是实际的频谱函数，具有相应的物理
意义
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三 周期信号的功率特性
将傅立叶级数表示式，式2-1和式2-9等
式两边平方，并在一个周期内进行积分，并
乘以1/T1。再利用三角函数及复指数函数的
正交性。
即在一个n个函数
构成的函数集中，如果在区间(t1,t2)内满足
正交性，有如下关系式：
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其中 为常数，如果 ＝1，有
这样可得到周期信号f(t)的平均功率P与
傅立叶级数系数的关系。
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(式2-12)
此式表明，周期信号的平均功率等于傅
立叶级数展开式中各谐波分量有效值的
平方和，也就是说时域和频域的能量是
守恒的，式2-12称为帕塞瓦尔定理。
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四 函数的对称性与傅立叶系数的关系
波形的对称性有两类：一类式对整周
期内对称，如偶函数和奇函数。另一类是
对半个周期内对称，如奇谐函数。
如果f(t)是实函数，满足上述某种对
称性使其傅立叶级数中有些项将不出现。
1 偶函数
若信号波形相对纵轴是对称的，即满
足
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这样在一个对称周期内求级数系数为：
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以上结果由于 为偶函数，
为奇函数，在一个对称区间
积分，偶函数为半区间积分的2倍，奇函
数积分为零。
由此得到其它系数的结果：
所以偶函数的Fn为实数，偶函数的
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傅立叶级数中不含有正弦项，只含有直流项
和余弦项。
例如，如图2-4所示，周期函数为偶函数，
它的傅立叶级数如下式：
图2-4
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2 奇函数
若信号的波形相对于纵坐标是反对称，
即f(t)=-f(-t)，则f(t)是奇函数。
这样得到级数中系数为：
其他系数为：
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所以，奇函数的Fn为虚数，奇函数的
傅立叶中不含有余弦项，只含有正弦项。
有时奇函数叠加一个直流分量，虽然
不是奇函数，但该函数等于奇函数加一个
常数（直流分量），分解后仍然不包含余
弦项，例如图2-5为周期锯齿奇函数信号
其傅立叶级数展开式如下
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3 奇谐函数
若函数波形沿时间轴平移半个周期并相
对该轴上下反转，其波形和原来一样，没有
发生变化，即：
图2-5
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称该函数为半波对称函数也称奇谐函数。
由定义看出，该函数的级数中的直流分量
a0必然为零。
设第二个积分式 ，所以有
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由于
所以
同理可得：
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如图2-6
所以f(t)为奇谐函数，其傅立叶级数中含有
基波和奇次谐波的正弦项和余弦项。
图2-6
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§ 典型周期信号的傅立叶级数
矩形周期信号是一个很重要的信号，其
展开的傅立叶级数及其频谱有着重要意义。
设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ
其幅度为E，重复周期为T1，则角频率
如图2-7
图2-7