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序言
人们很早就知道圆的周长与直径之比是一个常数，数学家们把这一比率用希腊字母来表示,称之为圆周率。圆周率是科技领域中最直观和最主要的常数，它是一个极其著名的数。在日常生活中人们经常与接触，并且从形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法〔即“割圆术”〕，。 汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即等于10的开方〔〕。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃〔229-267〕发现了另一个圆周率值，，但没有人知道他是如何求出来的。 公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。约在公元530年，印度数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为。欧洲。
圆周率的早期计算
实验时期
通过实验对值进行估算，这是计算的的第一阶段。这种对值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形比照的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量比照取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 。在印度，公元前六世纪，曾取= = 。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，，，，。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
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蒲丰在《或然性算术实验》一书中，提出了用实验方法计算 。这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线〔方便起见，常取 l = d/2〕，然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到的近似值。因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/d 。利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一次实验中，他选取 l = d/2 ，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 2212/704 = 。当实验中投的次数相当多时，就可以得到的更精确的值。
1850年，沃尔夫在投掷5000多次后，。目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得。
几何法时期——割圆法
凭直观推测或实物度量，来计算值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。因此，古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德真正使圆周率计算建立在科学的基础上。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。   
阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，表达在他的一篇论文《圆的度量》之中。在这一书中，阿基米德第一次用上、下界来确定的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 ＝，取得了自阿基米德以来的巨大进步。
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图 割圆术
在我国，数学家刘徽率在《九章算术》方田章“圆田术 ”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。他从圆内接正六边形出发，将边数逐渐加倍，如图，设圆面积为半径为，圆内接正边形边长为,周长为, 面积为。 将边数加倍后，得到圆内接正2边形，其边长、周长、面积分别记为、、。当 已知，用勾股定理求出。即如下列图得
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求得了内接正边形的周长,即可求得正2边形的面积：.
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刘徽割圆术还注意到，如果在内接边形的每条边上作一高为的矩形，就可以证明
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由此，他从正六边形一值计算到192边形，得出≈，通常称为“徽率”。
南北朝时