文档介绍：黎曼流形维基百科,自由的百科全书黎曼流形(Riemannian manifold )是一个微分流形,其中每点 p的切空间都定义了点积,而且其数值随 p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度,角度,面积,体积, 曲率,函数梯度及向量域的散度。每个 R n的平滑子流形可以导出黎曼度量:把R n的点积都限制于切空间内。实际上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以这样产生。我们可以定义黎曼流形为和R n的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric) 和上述从 R n导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间: 如果γ:[a,b]→M是黎曼流形 M中一段连续可微分的弧线,我们可以定义它的长度 L(γ)为(注意:γ'(t)是切空间 M在γ(t)点的元素;||·||是切空间的内积所得出的范数。)使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形 M很自然的成为一个度量空间(甚至是长度度量空间):在 x与y两点之间的距离 d(x,y)定义为: d(x,y)=inf {L(γ):γ是连接 x和y的一条光滑曲线}。虽然黎曼流形通常是弯曲的, “直线”的概念依然存在:那就是测地线. 在黎曼流形中,测地线完备的概念,和拓扑完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是 Hopf-Rinow 定理的内容.。微分流形维基百科,自由的百科全书[] 可微流形的定义设的自然数或者为,拓扑空间被称为是 m维可微流形,如果, 维坐标邻域所覆盖,换句话说,存在的m维坐标邻域族,使得 3. 满足的任意, 坐标转换为映射。?当r=0 时, 流形称为是拓扑流形;当时, 流形称为是光滑流形。?拓扑空间?维基百科,自由的百科全书?汉漢▼??上图为三点集合{1,2,3} 上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间,因为缺少{2} 和{3} 的并集{2,3} ;右下角的集合也不是个拓扑空间,因为缺少{1,2} 和{2,3} 的交集{2} 。?拓扑空间是一种数学结构,可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。定义拓扑空间是一个集合 X,和一个包含 X的子集族τ,其满足如下公理: 1. 空集和X 都属于τ。 2. τ内任意个集合的并集都仍然会属于τ。 3. τ内任意两个集合的交集也仍然会属于τ。满足上述公理的集族τ即称为 X的拓扑。X内的元素通常称做“点”,但它们其实可以是任意的元素。里面的“点”为函数的拓扑空间称为“函数空间”。τ内的集合称为开集,而其在 X内的补集则称为闭集。一个集合可能是开放的、封闭的、非开非闭或亦开亦闭。[] 例子 = {1,2,3,4} 和X 内两个子集组成的集族τ={?,X} 会形成一个平庸拓扑(简体中文) /密著拓扑(繁体中文)。 2. X= {1,2,3,4} 和X 内六个子集组成的集族τ={?,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。 =?(整数集合)及集族τ等于所有的有限整数子集加上?自身不是一个拓扑,因为( 例如) 所有不包含零的有限集合的并集是无限的, 但不是?的全部, 因此不在τ内。[] 拓扑之间的关系同一个空间可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都属于拓扑时,我们说拓扑比拓扑更细,或者说拓扑比拓扑更粗。仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。[] 连续映射拓扑空间上的一个映射,如果它对于每个开集的原像都仍然是开集,那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。同胚映射是一个连续的双射,并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射,则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲,同胚的空间是等同的。拓扑空间作为对象,连续映射作为态射,构成了拓扑空间范畴,它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论、同调论和K-理论。[] 等价定义虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法,但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同