文档介绍：复变函数华中科技大学数学与统计学院 1 2017-2-19 第二章解析函数§ 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程§2初等解析函数§ 3 初等多值解析函数复变函数华中科技大学数学与统计学院 2 2017-2-19 一、复变函数的导数与微分 :,, ,)( 0 0 的范围不出点点中的一为定义于区域设函数 Dzz DzDzfw???, )(.)( 0 0 的导数在这个极限值称为可导在那末就称 zzfzzf. )()( lim d d)( 000 0 0z zfzzfz wzf zzz??????????记作, )()( lim 000 存在如果极限 z zfzzf z??????第一节解析函数的概念与柯西-黎曼方程在定义中应注意:.)0( 00 的方式是任意的即?????zzzz. )()( , 00 0 0 都趋于同一个数比值时内以任意方式趋于在区域即z zfzzf zDzz??????复变函数华中科技大学数学与统计学院 3 2017-2-19 例1.)( 2 的导数求zzf?z zfzzfzf z????????)()( lim )( 0解z zzz z??????? 220)( lim )2( lim 0zz z?????.2z? zz2)( 2??即.)(,)(可导在区域内称内处处可导在区域如果函数 D zfDzfz ifzifif z???????????)1()1( lim )1( 0例2 .12)( 22处的导数在点求iz iyxzf????解 yix yixyix y x??????????????? 22 0 0)(2)(42 lim im im yix yixyix x xmy??????????????????1 42)(2)(42 lim 22 0于是以上极限为则沿直线令, ),1(11xmyxmyiz????????处不可导。故函数在存在。的路径,从而原极限不极限结果依赖于 iz iz???? 1 1复变函数华中科技大学数学与统计学院 4 2017-2-19 ,0)0(时而使向当点沿平行于虚轴的方????zxz zfzzfz f zz???????????)()( lim lim 00, 1 lim 0 0iyix y x y??????????,,0极限值不同时向使当点沿这两个不同的方??z. Im )( 在复平面上处处不可导故zzf?例3. Im )( 的可导性讨论 zzf?z zfzzfz f???????)()( 解z zzz????? Im ) Im( z zzz????? Im Im Imz z??? Im yix yix???????) Im( ,yix y?????,0)0(时而使向当点沿平行于实轴的方????zyz zfzzfz f zz???????????)()( lim lim 00,0 lim 0 0??????????yix y y x 复变函数华中科技大学数学与统计学院 5 2017-2-19 x yo ?z 0??y , 轴的直线趋向于沿着平行于设zyzz??0??x yix yix z????????2 lim 0,2 2 lim 0?????? yi yi y 不存在的导数所以. 2)( yixzf??例4 是否可导? 问 yixzf2)(??z zfzzfz f zz???????????)()( lim lim 00解z yixiyyxx z???????????2)(2)( lim 0 yix yix z?????????2 lim 0, 轴的直线趋向于沿着平行于设zxzz?? x yo ?z 0??y yix yix z????????2 lim 0,1 lim 0??????x x x 复变函数华中科技大学数学与统计学院 6 2017-2-19 :函数 f (z ) 在z 0 处可导则在 z 0 处一定连续, 但函数 f(z ) 在z 0 处连续不一定在 z 0 处可导. 证, 0 可导的定义根据在 z,0,0??????,||0时使得当????z,)( )()( 0 00????????zfz zfzzf有)( )()()( 0 00zfz zfzzfz ?????????令,0)( lim 0????z z?则)()( 00zfzzf???因为,)()( lim 000zfzzf z?????所以.)( 0 连续在即zzf ,)()( 0zzzzf???????复变函数华中科技大学数学与统计学院 7 2017-2-19 :.,0)()1( 为复常数??.,)()2( 1 为正整数其中 n nz z nn?????).()()()()3(zgzfzgzf ????????).()()()()()()4(zgzfz