文档介绍：主成分分析方法
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问题的提出
地理环境是多要素的复杂系统，在进行分析时多变量问题是经常会遇到的。变量太多，会增加分析问题的难度与复杂性，而且在实际问题中，多个变量之间往往具有一定的相关2022年，星期五
(2)计算特征值与特征向量
数值计算方法
实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法
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雅可比法的算法原理
雅可比（Jacobi）方法求实对称矩阵特征值与特征向量的基本思路如下：
设 n 阶矩阵 A 为对称矩阵，在其非对角线元素中选取一个绝对值最大的元素，设为apq，利用平面旋转变换矩阵 R0( p, q,θ)对 A进行正交相似变换：
A1 = A R0 ( p, q,θ)
其中， R0 ( p, q,θ) 的元素为：
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雅可比法的算法原理
rpp＝cosθ，rqq＝ cosθ ，
rpq＝-sinθ, rqp＝sinθ,
rij＝0，i，j ≠ p, q
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雅可比法的算法原理
如果按下式确定角度θ :
则对称矩阵A经上述变换后，其非对角线元素的平方和将减少2a2pq，对角线元素的平方和将增加2a2pq，而矩阵中所有元素的平方和保持不变。
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雅可比法的算法原理
由此可知，对称矩阵 A 每经过一次这样的正交相似变换，其非对角线元素的平方和将向 0 趋近一步。因此，只要反复进行上述正交变换，就可以将对称矩阵 A 变换为对角矩阵。对角矩阵中对角线上的元素即是矩阵的特征值，而每一步中的平面旋转矩阵的乘积的一列即为对应的特征向量。
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(3)计算主成分贡献率 及 累计贡献率
主成分zi贡献率为：
累计贡献率为：
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(3)计算主成分贡献率 及 累计贡献率
一般取累计贡献率达85-95％的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的第一，第二，……，第m（m≤p）个主成分。
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(4)计算主成分载荷
主成分载荷是主成分与变量之间的相关系数
计算公式为：
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(4)计算主成分载荷
由此可以进一步计算主成分得分：
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主成分分析在遥感中的应用
主成分变换 ( Principal Components Transformation, PCT )
或
K-L变换（Karhunen-Loeve变换）
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遥感图的主成分变换
遥感多光谱图像波段多，信息量大，但是数据量也太多。为了不使信息丢失，常常需要进行多波段运算，以致占用大量的机时和硬盘空间。
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遥感图的主成分变换
考虑到多光谱图像中各个波段之间具有相关性，我们可以通过变换，设法减少各种信息之间的冗余度，达到降低数据量，但同时保留主要信息的目的。
主要的变换方法就是主成分变换。
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遥感图的主成分变换
如前所述，主成分变换着眼于变量之间的相互关系，尽可能不丢失信息，用几个综合性指标汇集多个变量的量值而进行描述。
对于多光谱图像，由于各波段的数据间存在相关，因此可采用主成分变换将原图像中所包含的大部分信息用少数几个虚拟的波段表示出来。
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遥感图的主成分变换
如图所示，原数据是由二个波段组成的多光谱图像数据。两个波段数据间存在相关性，具有如图所示的椭圆分布形状。
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遥感图的主成分变换
现在沿椭圆长轴分布形状生成新轴Z，将各数据投影到Z轴。通过投影，各数据可以表示Z轴上的点数据，这样就达到了压缩数据的目的。
Z
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遥感图的主成分变换
但是，当原始数据投影到Z轴上时，从原数据到Z轴所对应的信息就会损失。
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Z
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遥感图的主成分变换
为了使丢失的信息尽可能少，就要按照使投影到Z轴上的一维数据的信息量（方差的大小）尽可能大的原则确定Z轴的取向。Z轴的方向就是第一主成分特征向量，它的长度就是特征值。
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遥感图的主成分变换