文档介绍：从时域和频域两种角度探讨卷积积分张瑜(学号: 20111060239 ) (物理与信息科学学院电子信息科学与技术专业 11级2班) 摘要:学****卷积是一个循序渐进的过程,要从多层次,多方位和多角度来学****和理解。利用卷积的定义可以解决比较简单的函数卷机问题,图解法则适用于求分段函数的卷积。首先从时域的角度引入卷积积分的概念,并以图示的方法诠释了卷积积分的全过程;利用傅里叶变换来说明时域中的卷积运算与频域中的乘法运算相对应,多方位学****卷积运算,最后再说明频域法的重要性。关键词:卷积;傅里叶变换;线性时不变系统;频域;时域 1. 引言卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位,随着理论研究的深入和卷积方法在信号与系统理论中占有重要地位。在? 信号与系统? 这门课程中, 主要从时域和频域两个角度分别来讲授确定性信号和线性时不变(LTI) 系统的分析方法。在分析线性系统过程中, 知道卷积运算将输入信号、输出信号以及冲激响应三者之间联系起来,主要有时域和频域两种计算方法。在时域法中,涉及到信号的平移、反转运算以及冲激响应的概念; 而在频域法中, 涉及到信号的傅里叶变换和频率响应的概念。要想真正理解卷积的物理含义及其应用,更是需要一个漫长的过程。为了能够运用卷积来解决工程实际问题,需要掌握扎实的理论基础。 2. 两函数卷积的存在性 时域法求解卷积卷积的运算及某些运算性质在运算中的应用会涉及到卷积是否存在的问题。若卷积不存在,则卷积运算无意义,因此,关于卷积存在性的探讨是很有意义的。两函数的卷积存在,是指: ???dtfftftftf)(2)(1)(2*)(1)(???????(1) 存在。“*”表卷积符号,假定 f1(t),f2(t) 中不含冲激,在任何有限时刻 t,若 f(t)< ?,则(1) 式的积分存在,即 f1(t) 与f2(t) 的卷积存在。从式( 1 )可以看出,卷积是一种特殊的积分,它服从交换律,分配律和结合律。对信号来讲,其物理含义是可将任意的信号分解为无穷多个冲激信号之和,即??????????dtftf)()()( (2) 根据 LTI 系统理论,若冲激响应为 h(t) ,输入信号 f(t) ,则系统的零状态响应 y(t) 为:???????)(*)()()()(thtfdtfty????(3) 由卷积的定义可得其计算步骤: (1)将变量 t改为?,则信号的自变量为?,即 f1(?),f2( ?); (2)将信号 f2(?)反转,并作平移运算,平移量为 t,得信号 f2(t- ?); (3)将信号 f1(?)与f2(?)相乘; (4)对乘积项积分,积分限为[ ???],即公式?????????dtfftf)(2)(1)( . 计算卷积的关键问题是看两个信号是否有重叠区域,若有重叠区域,则确定( 3 )中的积分上下限,再进行积分;若没有,则卷积为零。采用图解法可以直观的来说明卷积运算的全过程。对于信号 f1(?)和f2(- ?),如图所示: 图1信号 f1(?)和f2(- ?) 其卷积过程如下: 图2卷积过程图2(e)所示,此时两信号没有重叠区域,卷积为零。 频域法求解卷积对任意两个信号 f1(t) 和f2(t), 若信号 f1(t) 的Fourier 变换记为 F1(j ?),信号f2(t)Fourier 变换记为 F2(j ?),则