高等代数(北大版)第5章习题参考答案.pdf

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 2 2 
  2 2  1 1
T  1 1 0 0 1 0   1  ，
    
   2 2
0 0 1 0 0 1   0 0 1 
   
 
且有
1 0 0
 
T AT   0 4 0 。
 
 0 0 1
2）已知 f x , x , x  x 2  2x x  2x 2  4x x  4x 2 ，
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3
由配方法可得
   
f x , x , x  x 2  2x x  x 2  x 2  4x x  4x 2
1 2 3 1 1 2 2 2 2 3 3
 x  x 2  x  2x 2 ，
1 2 2 3
于是可令
y  x  x
 1 1 2
y  x  2x ，
2 2 3
y  x
 3 3
则原二次型的标准形为
f x , x , x  y 2  y 2 ，
1 2 3 1 2
且非退化线性替换为
x  y  y  2y
 1 1 2 3
x  y  2y ，
2 2 3
x  y
 3 3
相应的替换矩阵为
1 1 2 
 
T  0 1  2 ，
 
0 0 1 且有
 1 0 01 1 01 1 2  1 0 0
     
T AT  1 1 01 2 20 1  2  0 1 0 。
     
 2  2 10 2 40 0 1  0 0 0
（3）已知 f x , x , x  x 2  3x 2  2x x  2x x  6x x ，
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