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x 2 a x 2 a a x 2
令 y 0 ，得 x 1 ，∴ x x 1 x 1
2 2x 2 1 2x 1 2x
1 1 1
a x 2
∵ x a ，∴ 1 0 ，即 x x .
1 2x 2 1
1
x a x 2 a x a x a
又∵ 1 ，∴ x 1 1 2 1 a
2 2x 2 2x 2 2x 2 2x
1 1 1 1
所以 x x a .
1 2
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex (x R), 其中 a R
⑴当 a 0 时，求曲线 y f (x)在点(1, f (1))处的切线的斜率；
2
⑵当 a 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值.
3
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考
查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴当a 0时，f (x) x 2e x ，f '(x) (x 2 2x)e x，故f '(1) 3e.
所以曲线y f (x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.
⑵ f '(x) x2 (a 2)x 2a2 4a ex.
2
令f '(x) 0，解得x 2a，或x a 知， 2a a 2.
3
以下分两种情况讨论：
2
① 若a ＞ ，则 2a ＜ a 2 .当 x 变化时， f '(x)，f (x) 的变化情况如下表：
3
x ， 2a 2a 2a，a 2 a 2 a 2，
+ 0 — 0 +
极大 极小
↗ ↘ ↗
值 值
所以f (x)在(， 2a)，(a 2， )内是增函数，在(2a，a 2)内是减函数.
函数f (x)在x 2a处取得极大值f (2a)，且f (2a) 3ae 2a