文档介绍：1 行列式的计算方法摘要: 行列式计算的技巧性很强. 理论上, 任何一个行列式都可以按照定义进行计算, 但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的. 本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上,对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨. 总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径. 关键词: 行列式计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法. 它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域. 行列式的计算通常要根据行列式的具体特点, 采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的, 也是行之有效的计算方法. 1. 对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种,记忆起来很方便,但它只适用于二阶和三阶行列式,四阶及以上的行列式就不能采用此方法. 2. 定义法根据行列式定义可知,如果所求的行列式中含的非零元素特别少( 一般不多于 n2 个) ,可以直接利用行列式的定义求解, 或者行列式的阶数比较低( 一般是 2 阶或者 3 阶). 如果对于一些行列式的零元素( 若有) 分布比较有规律, 如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解. 例1 计算行列式 0004 0030 0200 1000 这是一个四级行列式, 在展开式中应该有 24 !4?项. 但是由于出现很多的零, 4321jjjjaaaa . 显然,如果 4 1?j ,那么 0 1? ja , 4 1?j 的那些项;同理, 只需考虑 3 2?j ,2 3?j ,1 4?j 这些列指标的项. 这就是说, 行列式中不为零的项只有 41 32 23 14aaaa 这一项,而 6)4321 (??,这一项前面的符号应该是正的. 所以原式= 24 43210004 0030 0200 1000????? 3. 化为三角形计算法例2 计算行列式 2 10 782 5513 3152 713 91???????解:10 17 00 816 00 17 25 13 0 713 9124 39 26 0 26 34 26 0 17 25 13 0 713 9110 782 5513 3152 713 91?????????????????312 24 000 2100 17 25 13 0 713 9110 17 00 2100 17 25 13 0 713 91?????????????这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位, 而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的 1、2、3、4 这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用. 各行( 或列) 加减同一行( 或列) 的倍数适用于加减后某一行(列)诸元素有公共因子或者三角形的情形例3 计算行列式 nnnn n nyxyxyx yxyxyx yxyxyxd??????????111 111 111 21 22212 12111??????解:当 3?n 时,各列减去第一列得:0)()(1 )()(1 )()(1 1121 1212212 1112111???????????yyxyyxyx yyxyyxyx yyxyyxyxd nnnn n n??????之所以等于零,是因为有两列成比例. 另外,当 2?n 时,) )((11 11 12122212 2111yyxxyxyx yxyx???????这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明. 各行( 或列) 加到同一行( 或列) 上去适用于各列(行) 诸元素之和相等的情况. 3 例4 计算行列式 abbb bbab bbba?????????解:把所有各列都加到第一列上去, 得:1) ]()1([000 000 1])1([ 1 1 1])1([)1( )1( )1( ????????????????????? nbabnaba ba bbbbna abb bba bbbbnaabbbna bbabna bbbbna????????????????????? 逐行( 或列) 相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多. 例5 计算行列式 110000010 011000001 231000000 023100000 000002310 000000231 2?????????????????????nD 解:从第一列开始,每列乘以 2 加到后一列,