文档介绍：椭圆题型总结
一、焦点三角形
1.
设F、F
是椭圆
x2
y2
1的左、右焦点，弦
AB过F，求△ABF1的面积的最大值。
1
2
3
2
+1≥1，m=t-1
A
则
SABF
=4
3
1
，t
∈[1,+
)
1
1
4t
4
t
f(t)=
4t
1
4在t∈[1,+
)上单调递增，且
f(t)∈[9,+
)
t
∴
t=1即m=0时，
ABF1的面积的最大值为
4
3。
3
注意：上述AB的设法：x=my+1，方程中的m相当于直线AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，
即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。
2.
如图，M（-2，0）和N（
2，0）是平面上的两点，动点
P满足：PMPN6.
(1)
求点P的轨迹方程；(2)
若
PM·PN＝
2
，求点P的坐
1cos
MPN
标.
解：(1)
由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长
2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=
a2
c2
5，所以椭圆
的方程为x2
y2
1.
9
5
(2)由PMgPN
2
,得PMgPNcosMPN
PMgPN
2.①
1
cosMPN
因为cosMPN
1,P不为椭圆长轴顶点，故
P、M、N构成三角形.
在△PMN中，
MN
2
2
PN
2
4,由余弦定理有MN
PM
2PMgPNcosMPN.
②
将①代入②，得42
2
PN
2
2).
PM
2(PMgPN
故点P在以M、N为焦点，实轴长为
2
3的双曲线x2
y2
1上.
3
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足
x2
y2
1，所以由方程组
5x2
9y2
45,
x
3
2
3,
9
5
x2
3y2
3.
解得
5.
y
2
即P点坐标为(
33
,
5
)、（