文档介绍：上页下页结束返回第7章数学物理定解问题第三节数学物理方程的分类一、分类基本概念(1) 偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程,如 2 2 2 2 2 ( , , , , , , , , , , ) 0 u u u u u F x y u x y x y x y ? ? ?????? ??? ????? ? ????其中( , , ) u x y ???是未知多元函数, 而, , x y ???是未知变量; , , u u x y ? ????? ?为 u的偏导数. 有时为了书写方便,通常记 22 , , , , x y xx u u u u u u x y x ? ? ?? ????????? ? ?上页下页结束返回第7章数学物理定解问题(2) 方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶. (3) 方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数. (4) 线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有(组合)偏导数的幂次数都是一次的,就称为线性方程, 高于一次以上的方程称为非线性方程. 上页下页结束返回第7章数学物理定解问题(5) 准线性方程一个偏微分方程,如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的,则称方程为准线性方程. (6) 自由项在偏微分方程中,不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项. 上页下页结束返回第7章数学物理定解问题(7)方程的通解如:二阶线性非齐次偏微分方程 2 xy u y x ? ?的通解为 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) 2 u x y xy x y F x G y ? ???其中( ), ( ) F x G y 是两个独立的任意函数. 若函数( ), ( ) F x G y 的具体形式给定,则得到方程的特解。(8)方程的特解方程的解含有任意元素(即任意常数或任意函数) 上页下页结束返回第7章数学物理定解问题 11 12 22 1 2 2 0 xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f ? ?????? 1,二阶线性偏微分方程的一般形式 a 11, a 12, a 22, b 1, b 2, c, f 只是 x , y 的函数。 f ? 0 方程为齐次的; 否则, 为非齐次的. 叠加原理定解问题的解可以看作几个部分的线性叠加,只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件。泛定方程、定解条件都是线性二、二阶线性偏微分方程的分类上页下页结束返回第7章数学物理定解问题 2,二阶偏微分方程的化简引入变换为使变换非奇异,其雅克比行列式满足其中: 上页下页结束返回第7章数学物理定解问题为达到化简的目的,我们注意到如果(或)是方程的解,则有(或) 注意到特征方程上页下页结束返回第7章数学物理定解问题特征方程的根为: 通过求解此微分方程可以得到变换函数( 特征线) ,从而线性偏微分方程得以简化。定义: 上页下页结束返回第7章数学物理定解问题 1. 当判别式以求得两个实函数解时,从特征方程可 1 2 ( , ) ( , ) x y C x y C ? ?? ?及也就是说,偏微分方程(1) 2 ( , , , , ) 0 u u u u ???? ??? ???? ??? ??方程可化为: 作为新的自变量,此时有: 上页下页结束返回第7章数学物理定解问题或者进一步作变换, = ? ?????? ? ?于是有, ? ?????? ?????? ? ?? ?????- 所以 2 2 2 2 2 u u u ?? ??? ??? ??? ??