文档介绍：数值分析复****总结
第二章数值分析根本概念
教学内容：
误差与有效数字
误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系;
误差的来源和误差的根本特性；
误差的计算（估计）的根本方法.
算法的适定性问题
数值分析1 U 12 ' l 42 U 22
U13
l 21U 13 U 23
l 31U 13 l 32U 23 U 33
l 41U 13 l 42 U 23 ' l 43 U 33
U14
l 21U14 U 24
l 31U 14 l 32U 24 U 34
41 U 14 ' l 42 U 24 T 43 U 34 U 44
an
a12
a13
a141
[
'1
0
0
oir
U11
U12
U13
U141
a 21
a 22
a 23
a24

l 21
1
0
0
0
U 22
U 23
U44
a31
a 32
a33
a34
l 31
l 32
1
0
0
0
U 33
U34
.a 41
a 42
a 43
a44 -
l 41
l42
l43
11
0
0
0
U44J
'二",n
对k =2, 3,…,n 计算
k-1
Ukj 一 akj 一 l kmU mj j - k, ,n
m 1
k-1
l ik =(aik 一' l imUmk “Ukk i =k • 1 ,…,n
m 4
算法：
(1)解 Y: y3
i-1
V、=bi-：Jjyj,j =2, 3, ,n
解 X： Xn =Vn Unn
i 1
Uii,
X、=加 W^Xj
i =n —1, . .,1
Cholesky 分解：
回忆对称正定矩阵的定义和性质O
由对称性推出：
A = LL
定理:
设矩阵A对称正定,那么存在非奇异下三角阵 L使得A = ,那么分解唯一.
Matlab中的Cholesky分解函数：
chol （）
向量和矩阵的范数
为了了钻研线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性,引进向量（矩阵）的范数的概念
向量范数
定义：
Rn空间的向量范数|| 〃 ||对任意
炉巧列誓:
（1）司次；|同』=广〒（正定性）
⑵ || ：• x||*| |.|x||
⑶ ||x 刃|"| ・||y||
好（齐次性）
（三角不等式）
常用范数：
lxh =乏 |xi
「n 」、1/2
视=£ x2i
j j
1/ p p
x
||x||*=max x.
定理:
n
R上一切范数都等价.
矩阵范数
定义：
A间列Rft：m
Rn麻空间的向量范数|| 〃 ||对任意
(1)||A||-0;||A||=0：= A=0
⑷* ||
⑵ |「 A|| 二 |： | ||A||
B||
||
常用矩阵范数:
Frobenius 范数:
I n n
-—| aij
i J j J
由向量范数|| 〃 || p导出关于矩阵 A在
|| A||f
|2
||A||p=max
||Ax||p
||x||p
=max|| Ax||p
||x||p 1 p
n
格外有:
iiAii8=max[|aj| （行和范数）
n
网奖匏如（列和范数）
||A|b^max(AT A)
（谱范数）
谱半径：
矩阵A的谱半径记为了
P（ A） = max由,其中h为了A的特征根 i
定理：
对任意算子范数|| 〃 ||有
假设A对称,那么有
A 2 = ：(A)
定理：
假设矩阵B对某个算子范数满足||日| < 1 ,那么必有
(1) (I _B)可逆.
(2 (I 士B / ＜一1一
1 —l|B||
解线性方程组的迭代法
钻研内容：
如何建立迭代公式？
收敛速度？
向量序列的收敛条件?
误差估计？
思路：
对线性方程组 Ax = b
其中A=(aj)n知非奇异矩阵,b = (K,…,bn)T
构造其形如x = Mx g
的同解方程组,其中M为了n阶方阵,gWRn.
任取初始向量x(0) w Rn,代入迭代公式
x(k 1)= Mx(k) g (k=0,1,2,)
产生向量序列{x(k)},当k充分大时,以x(k)作为了方程组Ax = tffl近似解,这就是求解线性方程组