文档介绍：第七讲积分等式与不等式问题 1?积分等式问题方法: ( 3) 利用定积分的积分性质( 4) 利用定积分的换元法、分部积分法( 2) 利用微分中值定理(1) 利用单调性、最值等方法??? ba axdxfxdxf)()(3 1 ?证明在?a , b ?内有点, 使设 f (x ) 在?a, b ?上连续, 且 f (x ) >0 , 例1 (练****十二/九) 解原等式????? baa dx xf dx xf03 1)()( ?构造辅助函数???? ba xa dx xf dx xfxg)()()(3 1则g(x ) 在[a , b] 上连续, 且有 03 1???? ba dx xfag)()(03 2??? ba dx xfbg)()( 根据零值定理, 存在??(a , b) 使g(?) = 0 例2 (练****十二/十六) ????? ba xa dttfxb dttfax)()()()(在(a , b) 内有唯一实根 f (x ) 是?a, b ?上取正值的连续, 试证明:方程解原等式??????? bx xa dttfxb dttfax0)()()()( 即, 结论成立??? baa dx xf dx xf)()( ?3 1构造辅助函数?????? bx xa dttfxb dttfaxxg)()()()()( 则g(x ) 在[a , b] 上连续, 且有 0????? ba dx xfabag)()()( 0???? ba dx xfabbg)()()(根据零值定理, 存在??(a , b ) 使g(?) = 0 , 即方程在( a , b ) 内至少有一实根又)()()() )(()()(' xfxb dttfaxxf dttfxg xa bx????????0????? baabxf dttf) )(()(?g(x ) 单调增?方程在(a , b) 内有唯一的实根例3 (练****十二/十四) ,xdxfexdxfe x x????? 32 10)()(证明: 存在??(0 , 3) 使 f (x ) 在?0, 3 ?上可导,f?(?) = f (?)解原等式),(,)()('300???????ff构造辅助函数, )()(xfex x???则?(x ) 在[0 , 3] 上连续, ( 0 , 3 ) 上可导又利用积分中值定理有],[,)()()(10 111 10 1???????????fe dx xfe x],[,)()()(32 222 32 2???????????fe dx xfe x )()( 21??????在上利用罗尔定理, 存在使],[ 21??),(],[30 21?????0?)('??)()('0?????ff例4 (练****十二/十五) ??????? a b dttfg dttgf)()()()(证明: 存在??( a , b) 使设 f (x ) , g(x)在?a, b ?上连续, 原等式????????? a b dttfg dttgf0)()()()(解?????? bx x xa dttg dttf0 ?]')()([ ????????? a b dttfg dttgf0)()()()(构造辅助函数???? bx xa dttg dttfxF)()()(则 F(x ) 在[a , b]上连续, ( a , b ) 内可导, 且有 F(a ) = F(b)根据罗尔定理, 存在使),(ba??0?)('?F即??????? a b dttfg dttgf)()()()( 例5 )()( nnm mxfxnxfxm? m 和 n , 方程若 f (x ) 是?0 , 1 ?上连续, 对于任意给定的正数在区间( 0 , 1 ) 0 1 1?????)()( nnm mxf nx xf mx 解?存在??(0 , 1) 使 0????x xx mn dttf ]')([构造辅助函数?? mnxx dttfxF)()(则 F(x ) 在[0 , 1] 上连续, ( 0 , 1 ) 内可导, 且有 F(0) = F(1) = 0 根据罗尔定理, 存在使),(10??0?)('?F)()( nnm mfnfm???? 1 1????即)()( nnm mfnfm?????例6 ????? x xu du ufux du dttf 0 00)()())((设 f (x ) 为连续函数, 证明:解设?? u dttfug 0)()(???? x xu du ug du dttf 0 00)())((??? xx du u uf u ug 0 0)()( ??? x du u uf x xg 0)()(???? x x