文档介绍：极限计算方法总结(简洁版)
一、极限定义、运算法那么和一些结果
1 .定义：(各种类型的极限的严格定义参见〈〈高等数学>函授教材,这里不一一表达) .
说明：(1) 一些最简洁的数列或函数的极限(极限值可以打量得到)都可以用上面的极限：
.,n[(n 2) -(n -1)]
解：原式=lim 一
e 、n 2 .n —1
分子分母同除以 n
lim
n—,：：
1 2 .1—1 2
n 一
(-1)n 3n
例3 nmf-
上下同除以3n
解：原式 = lim 八
3
(-：)n 1
3 =1.
2.
利用函数的连续性(定理
6)
求极限
lim x
X >2
1
2 x
ex
解：由于Xq
=2是函数f (x)=
1
、,2顼
x ex的一个连续点,
i
所以原式=22e2 = 4Ve .
1 - cos x 例 5 lim 2—
x—0 3x
2 X 2 X
2sin 2sin
2 2
解：原式=lim 产 =lim 2
x「Q 3x2 x )0 x 2
3X 12 (—)2
2
注：此题也可以用洛比达法那么.
2
例 6 lim(1 -3sin x)x
1
解：原式,州1®%)^
-6sin x
x
1 -6sin x
lim[(1 -3sinx)^^]^^
x j0
=e-6 .
例 7 lim (-一 )n
n—. .： n 1
n 1 -3n
- 一 3 r 萨
解：原式=lim (1 .——)乌
nF：' n 1
nj ~3n
—3 ~3 n 1 -3
忡(1「)' =e .
4. 利用定理2求极限
2 1
例 8 lim x sin —
x >° x
解：原式=0 （定理2的结果）.
利用等价无穷小代换（定理 4）求极限
xln(1 3x)
例9 lim 厂
J° arctan(x )
解：xt °时,ln1( + 3x)〜3x, arcta(n)(〜x2,
x 3x
原式=耽了 =3.
x sin x
例10
..e -e lim
x ° x -sinx
sin x x _sin x
勺 _ 「 e (e -1)
解：原式=lim
x—° x-sinx
_ sin x /
e (x - sin x) „
二 lim = 1 .
x—° x - sin x
注：下面的解法是错误的:
原式=l四
x sinx
(e -1)-(e -1)
x - sin x
x - sin x =lim
x Q x - sin x
正如下面例题解法错误一样:
,.t anx -si nx , . x - x -
11 m 3 = l i m—二 ° .
x i° x3 x,° x3
1、 tan(x sin—)
例 11 lim x
1
解：v 当 xt 0 时,x sin- x
1 . c 1 ..
是无务小,tan(x sin—)与x sin一等价, x x
所以,
1
x sin .
x 1
原式=lim = lim xsin— =