文档介绍：求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. (1) 直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程. (2) 定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义( 如椭圆、双曲线、抛物线、圆等) ,可用定义直接探求. (3) 相关点法根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程. (4) 参数法若动点的坐标(x,y) 中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化, 我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程. [例 1 ]如图所示,已知 P (4, 0) 是圆 x 2+y 2 =36 内的一点, A、B 是圆上两动点,且满足∠ APB =90 ° ,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 分析: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题, 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程, 再以此点作为主动点, 所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程. 解:设 AB 的中点为 R ,坐标为(x,y) ,则在 Rt△ ABP 中, | AR |=| PR |. 又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理:在 Rt△ OAR 中,| AR | 2 =| AO | 2-| OR | 2 =36 -(x 2+y 2) 又| AR |=| PR |=22)4(yx??所以有(x- 4) 2+y 2 =36 -(x 2+y 2 ),即x 2+y 2-4x- 10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时, Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y),R(x 1,y 1) ,因为 R是 PQ 的中点,所以 x 1=2 0,2 4 1???yy x , 代入方程 x 2+y 2-4x- 10=0, 得2 44)2 ()2 4( 22?????xyx - 10=0 整理得: x 2+y 2 =56, 这就是所求的轨迹方程. [例 2] 设点 A和B 为抛物线 y 2 =4 px(p> 0) 上原点以外的两个动点, 已知 OA ⊥ OB , OM ⊥ AB ,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 分析:将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而就建立了关于x、y 的关系. 解:设 M(x,y) ,直线 AB 的方程为 y= kx+b 由 OM ⊥ AB ,得 k=-y x 由y 2 =4 px及y= kx+b ,消去 y,得k 2x 2 +(2 kb-4p)x+b 2 =0 所以 x 1x 2=2 2k b ,消x,得 ky 2-4 py +4 pb =0 所以 y 1y 2=k pb 4 ,由 OA ⊥ OB ,得 y 1y 2=-x 1x 2 所以 k pk4 =-2 2k b ,b=-4 kp 故y= kx+b=k(x-4p ),用k=-y x 代入,得 x 2+y 2-4 px =0( x≠ 0) 故动点 M 的轨迹方程为 x 2+y 2-4 px =0( x≠ 0), 它表示以(2p ,0) 为圆心,以2p 为半径的圆, 去掉坐标原点. [例 3] 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱, 检测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少? 分析: 研究所给圆柱的截面, 建