文档介绍：§ §4 4 最大公因式最大公因式§ §5 5 因式分解因式分解§ §6 6 重因式重因式§ §10 10 多元多项式多元多项式§ §11 11 对称多项式对称多项式§ §3 3 整除的概念整除的概念§ §2 2 一元多项式 一元多项式 § §1 1 数域数域§ §7 7 多项式函数多项式函数§ §9 9 有理系数多项式有理系数多项式§ §8 8 复、实系数多项式复、实系数多项式的因式分解的因式分解第一章第一章多项式多项式一、复系数多项式一、复系数多项式二、实系数多项式二、实系数多项式§ § 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解 、复系数多项式若则在复数域( ) [ ] , f x C x ? ?( ( )) 1 , f x ? ?( ) f x 上必有一根. C 推论 1 ( ) [ ] , f x C x ? ?( ( )) 1 , f x ? ?若则存在[ ] , x a C x ? ?( ) | ( ) . x a f x ?使即, ( ) f x 在复数域上必有一个一次因式. § § 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解推论 2复数域上的不可约多项式只有一次多项式,即则 可约. ( ) [ ], f x C x ? ?( ( )) 1, f x ? ?( ) f x 2. 复系数多项式因式分解定理若则在复数域( ) [ ], f x C x ? ?( ( )) 1, f x ? ?( ) f x C 上可唯一分解成一次因式的乘积. § § 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解推论 1推论 2 若则在( ) [ ], f x C x ? ?( ( )) 1, f x ? ?( ) f x C 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r rs f x a x x x ? ? ?? ? ????? 1 2 , , Z s r r r ??? ?+, 其中是不同的复数, 1 2 , , , s ? ? ????上具有标准分解式复根(重根按重数计算). 若,则有n个( ) [ ] f x C x ? ?, ( ( )) f x n ? ?( ) f x § § 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解二、实系数多项式命题:若是实系数多项式的复根,则的共轭复数也是的复根. ?( ) f x ??( ) f x 若为根,则? 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a ? ????? ? ??????两边取共轭有∴也是为复根. ?( ) f x 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a ? ????? ? ??????证: 1 1 0 ( ) , n n n n i f x a x a x a a R ??? ? ??????设§ § 复系数于是系数多项式的因式分解复系数于是系数多项式的因式分解实系数多项式因式分解定理,若,则可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. ( ) [ ] f x R x ? ?( ( )) 1 f x ? ?( ) f x 证:对的次数作数学归纳. ( ) f x ①时,结论显然成立. ( ( )) 1 f x ? ?②假设对次数<n的多项式结论成立. 设,由代数基本定理, 有一复根. ( ( )) f x n ? ?( ) f x ?若为实数,则,其中? 1 ( ) ( ) ( ) f x x f x ?? ? 1 ( ) 1. f n