文档介绍：§ §2 2 标准正交基标准正交基 § §3 3 同构同构§ §4 4 正交变换正交变换§ §1 1定义与基本性质定义与基本性质§ §6 6 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形§ §8 8酉空间介绍酉空间介绍§ §7 7向量到子空间的向量到子空间的距离距离──最小二乘法最小二乘法小结与****题小结与****题第九章第九章欧氏空间欧氏空间§ §5 5 子空间子空间§ § 子空间子空间一、一、正交子空间正交子空间§ § 子空间子空间二、子空间的正交补二、子空间的正交补§ § 子空间子空间一、一、欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间 : 1) 与是欧氏空间 V中的两个子空间,如果对 1V 2V ( , ) 0, ???则称子空间与为正交的,记作 2V 1V 1 2 . V V ?( , ) 0, ??? 则称向量与子空间正交,记作? ?? 1V 1 2 , , V V ? ?? ? ?恒有 2) 对给定向量如果对恒有,V?? 1,V?? ?§ § 子空间子空间注: 注: ① 当且仅当中每个向量都与正交. 1 2 V V ? 1V 2V ② 1 2 1 2 {0}. V V V V ? ? ??③当且时,必有 1V?? 1V??0.???? 1 2 ( , ) 0 0. V V ? ???? ? ????? ?§ § 子空间子空间证明:设子空间两两正交, 1 2 , , , s V V V ? 2. 两两正交的子空间的和必是直和. 1 2 , s V V V ? ???要证明中零向量分解式唯一. 1 2 s V V V ? ???只须证: 设 1 2 0, , 1, 2, , s i i V i s ? ? ??? ?????? ?, i j V V i j ? ?? 1 2 ( ,0) ( , ) ( , ) 0 i i s i i ? ??????? ???????由内积的正定性,可知 0, 1, 2, , . i i s ?? ??§ § 子空间子空间二、二、子空间的正交补子空间的正交补 : 如果欧氏空间 V的子空间满足并且 1 2 , V V 1 2 , V V ?则称为的正交补. 2V 1V 1 2 , V V V ? ? 2. 维欧氏空间 V的每个子空间都有唯一正交补. 1V n 证明:当时, V就是的唯一正交补. 1 {0} V? 1V 当时, 也是有限维欧氏空间. 1V 1 {0} V? 1 2 , , , , m ? ? ??取的一组正交基 1V § § 子空间子空间由定理 1,它可扩充成 V的一组