§4 对称矩阵的对角化.ppt

文档介绍：§4对称矩阵的对角化 2 定理: 设? 1, ? 2, …, ? m是方阵 A的特征值, p 1, p 2, …, p m 依次是与之对应的特征向量,如果? 1, ? 2, …, ? m各不相同,则 p 1, p 2, …, p m线性无关. ( 定理 2) 3 可逆矩阵 P,满足 P ?1 AP = ??(对角阵) AP = P? Ap i = ? ip i (i = 1, 2, …, n) A的特征值对应的特征向量 12 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p ???? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??其中? (A?? i E ) p i = 0 矩阵 P 的列向量组线性无关 4 定理: 设? 1, ? 2, …, ? m是方阵 A的特征值, p 1, p 2, …, p m 依次是与之对应的特征向量,如果? 1, ? 2, …, ? m各不相同,则 p 1, p 2, …, p m线性无关. ( 定理 2) 定理: n 阶矩阵 A和对角阵相似(即 A能对角化)的充分必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量. ( 定理 4) 推论: 如果 A有 n 个不同的特征值,则 A和对角阵相似. 说明:当 A的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化. ( 例6) 5 定理: 设? 1, ? 2, …, ? m是方阵 A的特征值, p 1, p 2, …, p m 依次是与之对应的特征向量,如果? 1, ? 2, …, ? m各不相同,则 p 1, p 2, …, p m线性无关. ( 定理 2) 定理: 设? 1 和? 2是对称阵 A的特征值, p 1, p 2是对应的特征向量,如果? 1 ≠? 2,则 p 1, p 2正交. ( 定理 6) 证明: Ap 1 = ? 1 p 1,Ap 2 = ??p 2,?? 1 ≠? 2 ? 1 p 1 T = ( ? 1 p 1) T = ( Ap 1) T = p 1 T A T= p 1 T A ( A 是对称阵) ? 1 p 1 Tp 2 = p 1 T Ap 2 = p 1 T(??p 2 ) = ? 2 p 1 Tp 2 (? 1?? 2 ) p 1 Tp 2 = 0 因为? 1 ≠? 2,则 p 1 Tp 2 = 0 ,即 p 1, p 2正交. 6 定理: 设 A 为 n 阶对称阵,则必有正交阵 P,使得 P ?1 AP = P T AP = ?, 其中?是以 A的n个特征值为对角元的对角阵(不唯一) . ( 定理 7) 定理: n 阶矩阵 A和对角阵相似(即 A能对角化)的充分必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量. ( 定理 4) 推论: 如果 A有 n 个不同的特征值,则 A和对角阵相似. 说明:当 A的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化. 7 定理: n 阶矩阵 A和对角阵相似(即 A能对角化)的充分必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量. ( 定理 4) 推论: 如果 A有 n 个不同的特征值,则 A和对角阵相似. 说明:当 A的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化. 推论: 设 A 为 n 阶对称阵, ?是A的特征方程的 k重根,则?矩阵 A?????的秩等于 n?k, ?恰有 k个线性无关的特征向量与特征值?对应. 8 例: 设,求正交阵 P,使 P ?1 AP = ?对角阵. 解: 因为 A 是对称阵,所以 A可以对角化. 求得 A的特征值? 1 = ?2,? 2 = ? 3 = 1 . 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 2 1 1 | | 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 A E ?? ????? ?? ????????9 当? 1 = ?2 时, 解方程组( A + 2 E ) x =