文档介绍：导数学问点归纳和其应用
●学问点归纳
一、相关概念
1．导数的概念
函数y=f(x),假如自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变更率，即=。假如当时，有极限
（1）设函数在某个区间（a，b）可导，假如，则在此区间上为增函数；假如，则在此区间上为减函数。
（2）假如在某区间内恒有，则为常数。
例：函数是减函数的区间为 ( )
A． B． C． D．（0，2）
2．极点及极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
例：函数已知时获得极值，则= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．最值：
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值及最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不肯定有最大值，例如。
求最值步骤：
①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ的各极值及ƒ(a)、ƒ(b)比拟，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
说明：（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必需是整个区间上全部函数值中的最大值，最小值必需在整个区间上全部函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比拟整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比拟极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内获得，最值则可以在端点获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .
●经典例题选讲
例1. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )
，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
例4. 设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间及极值。
例5. 已知f（x）=在x=1，x=时，都获得极值。
（1）求a、b的值。
（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。
例6. 已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求及的关系式；
（II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上随意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
例7：（2009天津理20）已知函数其中
当时，求曲线处的切线的斜率；
当时，求函数的单调区间及极值。
本小题主要考察导数的几何意义、导数的运算、利用导数探讨函数的单调性及极值等根底学问，考察运算实力和分类探讨的思想方法。满分12分。
参考答案：
例1 [解析]：由函数的图象可知：
当时， <0，>0，此时增
当时，>0，<0，此时减
当时，<0，<0，此时减
当时，>0，>0，此时增，故选C
例2.
解：
若，对恒成立，此时只有一个单调区间，
冲突
若， ∴ ，也只有一个单调区间，冲突
若 ∵ ，此时恰有三个单调区间
∴ 且单调减区间为和，单调增区间为
例3 .
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
解得当
当
故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.
例4.
解：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是
一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；
在时，获得极大值，极大值为，
在时，获得微小值，微小值为。
例5.
解：（1）由题意f/（x）=的两个根分别为1和
由韦达定理，得：1=，
则，
（2）由（1），有f（x）=，f/（x）=
当时，，当时，，当时，，
当时，有极大值，，
∴ 当，的最大值为
对，都有恒成立，∴，
解得或
例6.
解：(I)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变更时，及的变更如下表：
1
0
0
调调递减
微小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，