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第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
【考纲要求】
理解函数 设函数，，求函数的单调区间与极值。
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单调递增
单调递减
单调递增
【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。
【变式演练4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
例6（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性。
解：（1）函数的定义域为，
设，
在上分别是单调递减和单调递增的，在上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数在上分别单调递增、单调递减。
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（2）解法一：函数的定义域为R，
分解基本函数为和。
显然在上是单调递减的，上单调递增；
而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。
解法二：，
，
令 ，得或，
令 ，或
∴单调增区间为；单调减区间为。
(1)求ω；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．
方法四
图像法
使用情景
函数的图像比较容易画出。
解题步骤
一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。
求函数的单调区间。
解：
在同一坐标系下作出函数的图像得
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所以函数的单调增区间为减区间为.
【高考精选传真】
1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ ）
（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件（D）充要条件
【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.
2.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是( )
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B.
3.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为
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4.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的( )
（A）充分不必要条件 （