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高考数列常考题型归纳总结

类型1
解法：把原递推公式转化
又由，于是
故
例:已知数列中，,,，求。
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以。
变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）
已知数列满足
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（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列
（I）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列
（II）解：由（I）得
　　
（III）证明：
　　　　　　　　①
　　②
②－①，得
即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得
即
是等差数列
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类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。
例：已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
，2为公差的等差数列，所以
变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.
解：，
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，两边同乘以，可得
令
…… ……
又，，
，
。
类型7
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为
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是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.
解：设，将代入递推式，得
…（１）则,又，故代入（１）得
说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.
变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）
已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出若不存在,则说明理由
解：（I）由已知得
又
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是以为首项，以为公比的等比数列
（II）由（I）知，
将以上各式相加得：

（III）解法一：
存在，使数列是等差数列
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数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列
解法二：
存在，使数列是等差数列
由（I）、（II）知，
又
当且仅当时，数列是等差数列
类型9
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例：已知