文档介绍：1 11第二讲相似矩阵的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、方阵相似对角化的条件一、相似矩阵的概念第五章相似矩阵与二次型 2 22 则称矩阵 A相似于矩阵 B. 一、相似矩阵的概念定义设A , B为n阶矩阵, P为n阶可逆矩阵, 且 P -1 AP = B ,对A进行运算 P -1 AP 称为对 A进行相似变换,可逆矩阵 P称为把 A变成 B的相似变换矩阵. 3 33 例如: ?? 1 1 0 1 1 11 , , 3 1 0 0 3 0 3 A B P ? ???? ???? ???? ????? ????????? 1 1 0 1 0 1 1 1 0 3 1 0 03 1 0 1 1 1 113 3 0 0 3 0 3 P AP B ?? ?? ???? ?? ?? ???? ???? ???? ????? ???因为所以 A与B相似. 4 44 二、相似矩阵与相似变换的性质相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有下面的性质:(1) AA(2) 对称性.,相似与则相似与若 ABBA (3)传递性. ,,相似与则相似与相似与若CA CB BA5 55 以下设 A, A与B有相同的特征多项式和特征值. 性质 1 若矩阵 A与矩阵 B相似, 则|A - ?E | = | B - ?E | , 相似的矩阵具有一些共性,也称为相似不变性: 证明: 因为 A与B相似, 所以存在可逆矩阵 P使得 1 B P AP ?? 6 66 1 1 1 1. B E P AP E P AP P EP P A E P A E ? ?????? ??? ? ?? ?? ?? ?相似变换是不改变特征值的变换推论若n阶矩阵 A与对角矩阵?= diag (? 1 , ? 2 , …, ? n)相似,则? 1 , ? 2 , …, ? n即是 A的n个特征值. 1. B P AP ??7 77 g(A ) 与g(B ) 相似. 证明略. 性质 3 若矩阵 A与B相似, k是常数, m是正整数, g(x ) = a 0x m + a 1x m -1 + … + a m , 则 kA 与kB 相似,A m与B m相似, 性质 2 若矩阵 A与矩阵 B相似,且矩阵 A 可逆, 则矩阵 B也可逆, 且A -1与B - 88 例1 设与?????????????????124 22 421xA?????????????400 00 005y yx,相似. 试求之值. 4 2 4 2 5 2 0, 4 2 4 x ? ??? ???? ??解: 根据相似矩阵的性质知,5, -4是A的特征值, 所以 5 0, A E ? ? 4 0, A E ? ??? 5 2 4 2 4 2 9 4 0, 4 2 5 x x ? ?? ?????? ?由第二个等式得 x =4 ,又 tr( A )= tr ( ) ,可得 y =5. ?9 99 些运算. 1 2 7 6 1 , 1 3 9 8 2 P , A Λ?? ?????? ??? ?????? ?? ?????例2 设在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某请看下例计算 A k . 10 1010 解用“二调一除”法,可得 1 3 2 1 1 P ??? ??? ??? ?容易验证?? 1 1 0 0 2 P AP ???记为?.于是由此可得 1 A P ΛP ???????? 1 1 1 0 1 2 3 2 ( ) 1 3 1 1 0 2 k k k k A P Λ P P ΛP ? ?? ??? ??? ???? ?????