文档介绍：线性代数复****线性代数》知识结构图方程组行列式矩阵向量实对称矩阵对角化克莱姆法则初等行变换解结构求特征值求特征向量正交矩阵高阶问题: MATLAB 对角矩阵施密特正交化一、行列式求行列式值 1、二阶、三阶行列式的对角线法则 2、n阶行列式 in in iiiiAaAaAaD????? 22113、行列式的性质性质性质 1 1行列式与它的转置行列式相等性质性质 2 2互换行列式的两行(列) ,行列式变号. 性质性质 3 3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数, k 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质 5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则可分为两个行列式性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变. 矩阵的基本运算、逆矩阵、秩 1、矩阵的定义与特殊矩阵对角阵、单位阵、对称阵 2、矩阵的计算矩阵的数乘)( ijaA???3、矩阵的初等变换行阶梯形矩阵行最简形矩阵矩阵的秩 AA n???矩阵相乘 7001 010 100??????????A AA ??? 1逆矩阵 EAA??1 矩阵的初等行变换:jirr? kr i? jikrr?二、矩阵向量的线性相关及线性无关、最大线性无关组 1、向量的定义 2、向量的计算 3、向量组的线性相关 4、向量组的秩和极大无关组例求向量组的秩。并且写出其一个最大无关组,并将各向量用此最大无关组线性表示。),0,6,4,2( ),3,0,2,1( ),0,3,2,1( 3 2 1????????)1,1,0,0( ),0,1,2,1( 5 4??????三、向量 3、向量组的线性相关存在不全为零的 m个数 k 1,k 2,…,k m, 使成立,称为线性相关。 0 2211???? mmαkαkαk?下面给出用求矩阵秩的方法来讨论向量组是否线性相关。其步骤如下: (1) 由向量组构作矩阵 A, 使矩阵 A的第 i列元素依次为的分量; iα(2) 求A的秩 R(A) 。若 R(A)=m ,则向量组线性无关。若 R(A)<m ,则向量组线性相关。 m,α,,αα? 21 m,α,,αα? 21(2)用矩阵初等行变换将 A化为行阶梯形矩阵 B,于是向量组的秩等于 R(B) (3)与矩阵 B的非零行第一个非零元素相对应的矩阵 A的列向量组成的向量组,即为向量组的一个最大无关组。综上所述,我们得到求向量组秩的方法和步骤: m???,,, 21?(1)将向量构成一个矩阵 A,使矩阵 A的第 i列元素为向量的分量。 m???,,, 21? i? 4、向量组的秩和极大无关组线性方程组的分类,求解 1、线性方程组有解的条件※非齐次线性方程组,其矩阵形式为 AX =b 非其次线性方程组 AX=b 有解的条件为 R(A)=R(B)=r 。若r=n,则方程组有唯一解; 若r<n,则方程组有无穷多解。※齐次线性方程组,其矩阵形式为 AX =0 R(A) =n,则方程组有唯一的零解; R(A) =r<n,则方程组有无穷多个解。特例:若 A为方阵,则方程组有非零解。 0?A 四、线性方程组 2、齐次线性方程组的解结构基础解系解——向量组的一个极大无关组方程组的任一解均可由基础解系的线性组合表示。 3、非齐次线性方程组的解结构?????????? rnrnkkX? 11其中为对应齐次线性方程组的通解, 为非齐次线性方程组的任意一个解,称为特解 rnrnkk ??????? 11??.0 , 1)( 21 21 的解为对应的齐次方程则的解都是及设?????? AX Xb AX XX????. ,0 , 2)( 的解仍是方程则的解是方程的解是方程设b AX X AX Xb AX X??????????? n-r 例求解方程组??????????????????.2132 ,13 ,0 4321 4321 4321xxxx xxxx xxxx