文档介绍：第 36页§5量纲分析法建模量纲分析(Dimensional Analysis) 是 20 世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法,它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则, BuckinghamPi 定理,然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法,——无量纲化. 一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的,有些物理量的量纲是基本的, 、质量 m 和时间 t 的量纲作为基本量纲,记以相应的大写字母 L ,M 和T .于是速度 v 、加速度 a 的量纲可以按照其定义分别用 1? LT 和2? LT 表示,力 f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积 2? LMT ,如万有引力定律 2 2r mmkf?中的引力常数 k ,由2 2mm frk?可知其量纲应从力 f、距离 r 和质量 m 的量纲求出,为2? LMT ·2L ·2?M =213??TML . 通常, 一个物理量 q 的量纲记作[q] , 于是上述各物理量的量纲为[l]=L , [m]=M , [t]=T , [v]=LT -1,[a ]=LT -2, [f] =LMT -2, [k]= 213??TML . 对于无量纲量?,我们记[?]=1( 因为可视为[?]=000TML ). 用数学公式表示一个物理定律时,等号两端必须保持量纲的一致,或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity) .量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20] .在叙述主要定理之前先看一个例子. 单摆运动这是一个熟知的物理现象,质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端,稍偏离平衡位置后小球在重力 mg 作用下(g 为重力加速度) 做往复摆动, 37页周期 t 的表达式. 在这个问题中出现的物理量有 t,m,l,g ,设它们之间有关系式其中 1?,2?,3?是待定常数, ?(1) 式的量纲表达式即???????????glmt?将[t]=T , [m]=M , [l]=L , [g]=LT -2 代入得按照量纲齐次原则应有(3) 的解为 1?=0,2?=1/2 ,3?=-1/2 ,代人(1) 式得g lt??(4) (4) 式与用力学规律得到的结果是一致的. 为了导出量纲分析建模的一般方法,将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5) 式形如?? y yyyglmt (6) 其中 1y ~4y 是待定常数, ? t,m,l,g 的量纲用基本量纲 L,M,T 表示为 100][TMLt?,010][TMLm?,001][TMLl?,201][ ??TMLl ,则(6) 的量纲表达式可写作( 注意到 000][TML??) 即000 2TMLTML yyy yy???(7) 第 38页此方程组有一个基本解 TTyyyyy)1,1,0,2(),,,( 4321???(9) 代回(6) 式得???glt 12 ( 10) 而(5) 式等价于 0)(??F ( 11) (10) , (11) 两式就是用量纲齐次原则从(5) (4) 式只是它的特殊表达形式. 把从(5) 式到(11) 式的推导过程一般化,就是著名的 Pi 定理. 定理设有 m 个物理量 mqqq,,, 21?, 是与量纲单位的选取无关的物理定律*,nXXX,,, 21?是基本量纲, n≤m. mqqq,,, 21?的量纲可表为 mjXq ni aii,..., 2,1,][ 1????(13) 矩阵 mn ijaA ??}{ A 的秩r RankA ?(14) 设线性齐次方程组(y是m 维向量)0? Ay (15) 的 m-r 个基本解为 rmsyyyy T sm sss???,,2,1,),,,( 21??(16) 则??? mj yjiq 1?为 m-r (12) 式等价. F 表示一个未定的函数关系. [ 航船的阻力]长l 、吃水深度 h 的船以速度 v 航行, 若不考虑风的影响, 那么航船受的阻力 f 除依量纲齐次原则给出(8) 第 39页赖于船的诸变量 l ,h,v 以外,还与水的参数——密度?、粘性系数?,以及重力加速度g f 和这些物理量之间的关系. 我们按照 Pi 定理中(12) ~ (18) 式的步骤进行. 1. 航船问题中涉及的物理量有: 阻力 f, 船