文档介绍：数学建模讲座 函数插值与数据拟合 胡支军 贵州大学理学院数学系 贵州赛区组委会
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作为一个模型，它要与模型的实际背景接轨，而数节点
被插值点
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例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。
用MATLAB作分段线性插值计算
Date
hours=1:12;
temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
h=1:.1:12;
t=interp1(hours,temps,h)
plot(hours,temps,'+',h,t)
title('线性插值下的温度曲线'),
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius')
用MATLAB作分段线性插值计算
Date
程序运行结果：
用MATLAB作分段线性插值计算
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返 回
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拉格朗日(Lagrange)多项式插值
已知三点（x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), 求过这三点的多项式。
则
方程组有唯一解
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已知 n+1个节点
其中
互不相同，不妨设
求过这n+1个点的多项式。
拉格朗日(Lagrange)多项式插值
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有唯一解
上述方程组的矩阵形式为
拉格朗日(Lagrange)多项式插值
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已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：
Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.
称为拉格朗日插值基函数。
解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
其中Li(x) 为n次多项式：
拉格朗日(Lagrange)多项式插值
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例 将[0,/2] n等分，在g(x)=cos(x)上取n+1个节点，作Pn(x)（取n=1,2) ,计算Pn(/6),与 cos(/6)比较, 观察误差。
解: n=1, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0),
/2
1
/6
P1(x)=y0L0+y1L1=1-2x/,
P1(/6)=
精确值：cos (/6)=
拉格朗日(Lagrange)多项式插值
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n=2时: (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/4,),
(x2,y2)=(/2,0),
P2(x)=y0L0+y1L1+y2L2
=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)/2
P2(/6)=
精确值：cos (/6)=
/6
/4 /2
是否n越大,插值的误差就越小?
想
拉格朗日(Lagrange)多项式插值
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拉格朗日多项式插值的振荡现象
Runge现象:
采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别为2,4,6,8,10时的插值计算结果如下页图.
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返 回
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三次样条插值
x
y
xi-1 xi
a
b
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。
光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。
比分段线性
插值更
光滑
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三次样条函数 S(x), x∈[a, b] , 满足:
1) S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ；
2) 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。
x
y
xi-1 xi
a
b
三次样条插值
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问题：给定n+1个节点（x0, y0 )，(x1, y1 ) ,…, (xn, yn), 求一个三次样条函数S(x)，使其满足：
S(xi)=yi,i=0,1,…,n.
想
如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数？
三次样条插值
Date
三次样条插值函数
应满足的条件：
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参数：每个小段上4个