文档介绍：第二节极坐标与参数方程(选修 4-4 ) ?考纲解读 1. . 了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3. 能在极坐标中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 4. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程,通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程, 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 5. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较,了解它们的区别. 6. 了解参数方程,. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 8. 掌握参数方程化普通方程的方法. ?知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点,由点出发的一条射线,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系. 点称为极点, 称为极轴. 平面上任一点的位置可以有线段的长度和从到的角度来刻画(如图和图所示.). , OxO OxM OM ? Ox OM ? 16 28 ? 16 29 ???, ?? M ?? O ??x y??, M x y 16 28 ?图 16 29 ?图二、极坐标与直角坐标的互化设为平面上的一点,其直角坐标为,极坐标为,由图和图可知,下面的关系式成立: M??, ????, x y 16 28 ? 16 29 ??? 2 2 cos sin0 x y xyy tna x x ?? ??? ???? ?????? ??? ???? R 或(上式对也成立). x M??O ( , ) ??三、极坐标的几何意义——表示以为圆心, 为半径的圆; ——表示过原点(极点)倾斜角为的直线, 为射线; ——表示以为圆心过点的圆. (可化直角坐标: ). 四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为其中,为直线的倾斜角,代入点斜式方程: ,即记上式的比值为,整理后得时也成立, =r?O r 0 ? ?? 0??? 00 ? ??? 2 cos a ? ??O??, a o?? 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 a x y ax x a y a ? ??? ????????? 0 0 y y k x x ? ?? tan k????? 0 0 sinπ cos 2 y y x x ???? ?? ? ??? ?? ? 0 0 . cos sin x x y y ? ?? ?? 00 cos π sin 2 x x t y y t ???? ????? ??, t 故直线的参数方程为(为参数, 为倾斜角), 直线上定点,动点,为的数量. 向上向右为正(如图).五、圆的参数方程若圆心在点,半径为,则圆的参数方程为六、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为(为参数, ). 七、双曲线的参数方程双曲线的参数方程为八、抛物线的参数方程抛物线的参数方程为 .(为参数,参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数) . 00 cos sin x x t y y t ??? ???? ?? t ??? 0 0 0 , M x y ??, M x y t 0 M M ?????? 16 33 ?图 16-33 ?? 0 0 0 , M x y r 00 cos (0 2 π). sin x x r y y r ???? ???? ??? ? 2 2 2 2 : 1 x y C a b ? ? cos sin x a y b ???????? 0 2 π?? ? 2 2 2 2 : 1 x y C a b ? ? sec π(π). tan 2 x a k k y b ?????? ????? Z 22 y px ? 222 x pt y pt ????? t t yxO t??, M x y ?? 0 0 0 , M x y 【例 变式 2】⊙