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2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题 1—8小题．每题4分，共32分．、
１．当时，用表示比高阶的无穷小，则以下式子中错误的选项是〔 〕
〔A〕 〔B〕，为任意常数
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〔C〕 〔D〕，为任意常数
【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
从而可知，即，为任意常数，故选择〔B〕．
7．设是随机变量，且，，则
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕
【详解】假设，则
，，
，
．
故选择〔A〕．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
X
0
1
2
3P
P
1/2
1/4
1/8
1/8
Y
-1
0
1
P
1/3
1/3
1/3
则〔 〕
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〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
【详解】，故选择〔C〕．
二、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上〕
9．设曲线和在点处有切线，则 ．
【详解】由条件可知．所以
10．设函数是由方程确定，则 ．
【详解】
设，则，
当时，，所以．
11． ．
【详解】
12．微分方程的通解为 ．
【详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数．
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13．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则= ．
【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知
，所以可能为或0．
但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以
14．设随机变量X服从标准正分布，则 ．
【详解】
．
所以为．
三、解答题
15．〔此题总分值10分〕
当时，与是等价无穷小，求常数．
【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．
【详解】当时，，，，
所以
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，
由于与是等价无穷小，所以．
16．〔此题总分值10分〕
设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，假设，求的值．
【详解】由微元法可知
；
；
由条件，知．
17．〔此题总分值10分〕
设平面区域D是由曲线所围成，求．
【详解】
．
18．〔此题总分值10分〕
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为〔P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件〕，已知产销平衡，求：
〔1〕该的边际利润．
〔2〕当P