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文档介绍：1 第四章随机变量的数字特征§1 数学期望§2 方差§3 协方差及相关系数§4 矩 2§ 数学期望数学期望的概念随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望 3 例1:某班有 N人参加考试,其中有 n i个人为 a i ,i= 1,2, …解: ??? ki iNn 1,平均成绩为: ????? ki ii ki iiN nanaN 111若用 X表示成绩,则}{ iaXP??? ki iiN na 1N n i????? ki iiaXPa 1}{ 一、数学期望的概念 1. 离散型设离散型随机变量 X的分布律为: ,}{ kkpxXP???,2,1?k???? 1i kkpx EX 若级数绝对收敛,则称此级数的和为随???1i kkpx既有数学期望简称期望,又称均值. 数学期望机变量 X的数学期望。记作: EX. 5 例1甲、乙两人射击,他们射击水平由下表给出: 数学期望 X:甲击中的环数 Y:乙击中的环数试问哪一个人的射击水平高? 解:甲、乙的平均环数为: 10 ??????? ??????? EY甲的射击水平比乙的高. 从平均环数上看 6 2. 连续型设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x),若积分绝对收敛,则称此积分值为 X的数学期望. ???? dx x xf)(????? dx x xf EX)(记为说明数学期望 X的数学期望刻画了 X变化的平均值. 7 例2 设随机变量 X服从 Cauchy 分布,其概率密度函数为数学期望说明?????????????xx xf 21 11?由于?????????????? dx x x dx xfx 21 1?????? 0 21 2 dx x x?????????? 0 21 ln 1x?因而 EX 不存在. ??非绝对收敛, 积分????? dx x xf (1) 定义中的级数与广义积分是否绝对收敛一般不验证. (2) 并不是任意一个随机变量均存在数学期望. 8 例3设有 5个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 X i ?????????00 0x xexf x??(i =1,2,3,4,5) 都服从参数为λ的指数分布. 5个电子装置并联,组成整机,求此整机的平均寿命 E(M). 5个电子装置串联,组成整机,求此整机的平均寿命 E(N). ),,,,i,(543210?????????????00 01x xexF x?数学期望 X i(服从参数为λ的指数分布解: X i的概率密度函数为 X i的分布函数为 9 ?? xFxF M 5)(?????????00 0)1( 5x xe x?1. 令: M=max {X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 }, X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是其概率密度函数为: ?? 0 00 15)( 4????????????x xeexf xx M ????????????dx xxf ME M)(? 1160 137 ?数学期望独立同分布的,于是利用第三章第五节 P99; 式???????????? 0 415dx eex xx??? 10 ?? xFxF M 5)(?????????00 0)1( 5x xe x?2. 令: N=min {X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 }, X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是其概率密度函数为: ?? 0 00 15)( 4????????????x xeexf xx M ????????????dx xxf ME M)(? 1160 137 ?数学期望独立同分布的,于是利用第三章第五节 P99; 式???????????? 0 415dx eex xx???